Đại số tuyến tính Ví dụ

$x + y - z = a$ , $2 x - 3 y + 4 z = b$ , $3 x + 8 y - 9 z = c$

Bước 1

Trừ $a$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x + y - z - a = 0, 2 x - 3 y + 4 z = b, 3 x + 8 y - 9 z = c$

Bước 2

Trừ $b$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x + y - z - a = 0, 2 x - 3 y + 4 z - b = 0, 3 x + 8 y - 9 z = c$

Bước 3

Trừ $c$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x + y - z - a = 0, 2 x - 3 y + 4 z - b = 0, 3 x + 8 y - 9 z - c = 0$

Bước 4

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 2 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 8 & - 9 & 0 \end{array}]$

Bước 5

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 2 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 8 & - 9 & 0 \end{array}]$

Bước 5.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 2 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 8 & - 9 & 0 \end{array}]$

Bước 5.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 2 & - - 3 & - 1 \cdot 4 & - 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 8 & - 9 & 0 \end{array}]$

Bước 5.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 8 & - 9 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 3 & - 4 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 8 & - - 9 & - 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & - 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Bước 6

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$a - x - y + z = 0$

$b - 2 x + 3 y - 4 z = 0$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

Bước 7

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $a$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$a - y + z = x$

$b - 2 x + 3 y - 4 z = 0$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

Bước 7.2

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$a + z = x + y$

$b - 2 x + 3 y - 4 z = 0$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

Bước 7.3

Trừ $z$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$a = x + y - z$

$b - 2 x + 3 y - 4 z = 0$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

$a = x + y - z$

$b - 2 x + 3 y - 4 z = 0$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

Bước 8

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $2 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$b + 3 y - 4 z = 2 x$

$a = x + y - z$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

Bước 8.2

Trừ $3 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b - 4 z = 2 x - 3 y$

$a = x + y - z$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

Bước 8.3

Cộng $4 z$ cho cả hai vế của phương trình.

$b = 2 x - 3 y + 4 z$

$a = x + y - z$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

$b = 2 x - 3 y + 4 z$

$a = x + y - z$

$c - 3 x - 8 y + 9 z = 0$

Bước 9

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $c$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $3 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$c - 8 y + 9 z = 3 x$

$a = x + y - z$

$b = 2 x - 3 y + 4 z$

Bước 9.2

Cộng $8 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$c + 9 z = 3 x + 8 y$

$a = x + y - z$

$b = 2 x - 3 y + 4 z$

Bước 9.3

Trừ $9 z$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$c = 3 x + 8 y - 9 z$

$a = x + y - z$

$b = 2 x - 3 y + 4 z$

$c = 3 x + 8 y - 9 z$

$a = x + y - z$

$b = 2 x - 3 y + 4 z$

Bước 10

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(x + y - z, 2 x - 3 y + 4 z, 3 x + 8 y - 9 z, x, y, z)$

Bước 11

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x + y - z \\ 2 x - 3 y + 4 z \\ 3 x + 8 y - 9 z \\ x \\ y \\ z \end{array}]$