Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Bước 1

Nhân $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Bước 1.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Bước 1.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Bước 2

Phương trình ma trận này có thể được viết lại dưới dạng một hệ phương trình.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Bước 3

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $z$ bằng $8 + y$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $z$ trong $2 x + 2 y - 5 z = 15$ bằng $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $- 5$ với $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Bước 4.2.1.2

Trừ $5 y$ khỏi $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $z$ trong $- x - y + 3 z = 23$ bằng $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Bước 4.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Rút gọn $- x - y + 3 (8 + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Bước 4.4.1.1.2

Nhân $3$ với $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Bước 4.4.1.2

Cộng $- y$ và $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Bước 5

Sắp xếp lại $8$ và $y$ .

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Bước 6

Giải tìm $y$ trong $z = y + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $y + 8 = z$ .

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Bước 6.2

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ bằng $z - 8$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ trong $- x + 2 y + 24 = 23$ bằng $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Bước 7.2.1.1.2

Nhân $2$ với $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Bước 7.2.1.2

Cộng $- 16$ và $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ trong $2 x - 3 y - 40 = 15$ bằng $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 7.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 7.4.1.1.2

Nhân $- 3$ với $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 7.4.1.2

Trừ $40$ khỏi $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 8

Giải tìm $x$ trong $2 x - 3 z - 16 = 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Cộng $3 z$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 8.1.2

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 8.1.3

Cộng $15$ và $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 3 z + 31$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 3 z + 31$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $- x + 2 z + 8 = 23$ bằng $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.2

Để viết $2 z$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.3

Kết hợp $2 z$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.6

Nhân $2$ với $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.7

Cộng $- 3 z$ và $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.8

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.9.1

Kết hợp $8$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.9.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.10.1

Nhân $8$ với $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 9.2.1.10.2

Trừ $31$ khỏi $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 10

Giải tìm $z$ trong $\frac{z - 15}{2} = 23$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 10.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 10.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 10.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nhân $2$ với $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 10.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $z$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Cộng $15$ cho cả hai vế của phương trình.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 10.3.2

Cộng $46$ và $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $z$ bằng $61$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $z$ trong $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ bằng $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Bước 11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Bước 11.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1

Nhân $3$ với $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Bước 11.2.1.2.2

Cộng $183$ và $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Bước 11.2.1.2.3

Chia $214$ cho $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Bước 11.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $z$ trong $y = z - 8$ bằng $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Bước 11.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Trừ $8$ khỏi $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Bước 12

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 53, x = 107, z = 61$