Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x \end{array}]$

Bước 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Bước 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

Bước 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

Bước 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Bước 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Bước 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Bước 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Bước 1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 1.11

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4

Tính $| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 4.1.9

Add the terms together.

$x (x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.2

Tính $| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x \cdot x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x (x (x^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.3

Tính $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (1 x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.4

Tính $| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 \cdot 1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.4.2

Nhân $1$ với $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x (x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x (x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$x (x^{3} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x (x^{3} - 1 \cdot x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x (x^{3} - x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x^{3} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.6

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x (x^{3} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.1.8

Nhân $1 - x$ với $1$ .

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$x (x^{3} - 2 x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.3

Trừ $x$ khỏi $- 2 x$ .

$x (x^{3} - 3 x + 1 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 4.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Bước 5

Tính $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Bước 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

Bước 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

Bước 5.1.9

Add the terms together.

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Bước 5.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Bước 5.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0$

Bước 5.4

Tính $| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x \cdot x - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Bước 5.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Bước 5.4.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Bước 5.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Cộng $1 (x^{2} - 1)$ và $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0) + 0 + 0$

Bước 5.5.1.2

Cộng $1 (x^{2} - 1)$ và $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1)) + 0 + 0$

Bước 5.5.2

Nhân $x^{2} - 1$ với $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$

Bước 6

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Cộng $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ và $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0$

Bước 6.1.2

Cộng $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ và $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.2.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{4} - 3 x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{4} - 3 x \cdot x + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Di chuyển $x$ .

$x^{4} - 3 (x \cdot x) + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 (x^{2} - 1)$

Bước 6.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Bước 6.2.5

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 \cdot - 1$

Bước 6.2.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} + 1$

Bước 6.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $- 3 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 x + 1$