Đại số tuyến tính Ví dụ

Tìm Các Vectơ Riêng/Không Gian Riêng [[7,0,4],[0,10,0],[4,0,-8]]
Bước 1
Tìm các trị riêng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng .
Bước 1.2
Ma trận đơn vị cỡ là ma trận vuông có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.
Bước 1.3
Thay các giá trị đã biết vào .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
Thay bằng .
Bước 1.3.2
Thay bằng .
Bước 1.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.1
Nhân với mỗi phần tử của ma trận.
Bước 1.4.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.2.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.2.2
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.3
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.3.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.3.2
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.4
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.4.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.4.2
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.5
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.6
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.6.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.6.2
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.7
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.7.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.7.2
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.8
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1.2.8.1
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.8.2
Nhân với .
Bước 1.4.1.2.9
Nhân với .
Bước 1.4.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
Bước 1.4.3
Simplify each element.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.3.1
Cộng .
Bước 1.4.3.2
Cộng .
Bước 1.4.3.3
Cộng .
Bước 1.4.3.4
Cộng .
Bước 1.4.3.5
Cộng .
Bước 1.4.3.6
Cộng .
Bước 1.5
Find the determinant.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Bước 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Bước 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Bước 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Bước 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Bước 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Bước 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Bước 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Bước 1.5.1.9
Add the terms together.
Bước 1.5.2
Nhân với .
Bước 1.5.3
Nhân với .
Bước 1.5.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.4.1
Có thể tìm được định thức của một ma trận bằng công thức .
Bước 1.5.4.2
Rút gọn định thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.4.2.1.1
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.4.2.1.1.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.5.4.2.1.1.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.5.4.2.1.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.5.4.2.1.2
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.4.2.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.4.2.1.2.1.1
Nhân với .
Bước 1.5.4.2.1.2.1.2
Nhân với .
Bước 1.5.4.2.1.2.1.3
Nhân với .
Bước 1.5.4.2.1.2.1.4
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
Bước 1.5.4.2.1.2.1.5
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Di chuyển .
Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Nhân với .
Bước 1.5.4.2.1.2.1.6
Nhân với .
Bước 1.5.4.2.1.2.1.7
Nhân với .
Bước 1.5.4.2.1.2.2
Cộng .
Bước 1.5.4.2.1.3
Nhân với .
Bước 1.5.4.2.2
Trừ khỏi .
Bước 1.5.4.2.3
Sắp xếp lại .
Bước 1.5.5
Rút gọn định thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.5.1
Kết hợp các số hạng đối nhau trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.5.1.1
Cộng .
Bước 1.5.5.1.2
Cộng .
Bước 1.5.5.2
Khai triển bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.
Bước 1.5.5.3
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.5.3.1
Nhân với .
Bước 1.5.5.3.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.5.3.2.1
Di chuyển .
Bước 1.5.5.3.2.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.5.3.2.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.5.5.3.2.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.5.5.3.2.3
Cộng .
Bước 1.5.5.3.3
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.5.3.3.1
Di chuyển .
Bước 1.5.5.3.3.2
Nhân với .
Bước 1.5.5.3.4
Nhân với .
Bước 1.5.5.4
Trừ khỏi .
Bước 1.5.5.5
Cộng .
Bước 1.5.5.6
Di chuyển .
Bước 1.5.5.7
Di chuyển .
Bước 1.5.5.8
Sắp xếp lại .
Bước 1.6
Đặt đa thức đặc trưng bằng để tìm các trị riêng .
Bước 1.7
Giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1
Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.1
Phân tích thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.1.1
Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng trong đó là một thừa số của hằng số và là một thừa số của hệ số cao nhất.
Bước 1.7.1.1.2
Tìm tất cả các tổ hợp của . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.
Bước 1.7.1.1.3
Thay và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng vì vậy là một nghiệm của đa thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.1.3.1
Thay vào đa thức.
Bước 1.7.1.1.3.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.7.1.1.3.3
Nhân với .
Bước 1.7.1.1.3.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.7.1.1.3.5
Nhân với .
Bước 1.7.1.1.3.6
Cộng .
Bước 1.7.1.1.3.7
Nhân với .
Bước 1.7.1.1.3.8
Cộng .
Bước 1.7.1.1.3.9
Trừ khỏi .
Bước 1.7.1.1.4
là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.
Bước 1.7.1.1.5
Chia cho .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.1.5.1
Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị .
--++-
Bước 1.7.1.1.5.2
Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia .
-
--++-
Bước 1.7.1.1.5.3
Nhân số hạng thương số mới với số chia.
-
--++-
-+
Bước 1.7.1.1.5.4
Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong
-
--++-
+-
Bước 1.7.1.1.5.5
Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.
-
--++-
+-
+
Bước 1.7.1.1.5.6
Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.
-
--++-
+-
++
Bước 1.7.1.1.5.7
Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia .
-+
--++-
+-
++
Bước 1.7.1.1.5.8
Nhân số hạng thương số mới với số chia.
-+
--++-
+-
++
+-
Bước 1.7.1.1.5.9
Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong
-+
--++-
+-
++
-+
Bước 1.7.1.1.5.10
Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.
-+
--++-
+-
++
-+
+
Bước 1.7.1.1.5.11
Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.
-+
--++-
+-
++
-+
+-
Bước 1.7.1.1.5.12
Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia .
-++
--++-
+-
++
-+
+-
Bước 1.7.1.1.5.13
Nhân số hạng thương số mới với số chia.
-++
--++-
+-
++
-+
+-
+-
Bước 1.7.1.1.5.14
Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong
-++
--++-
+-
++
-+
+-
-+
Bước 1.7.1.1.5.15
Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.
-++
--++-
+-
++
-+
+-
-+
Bước 1.7.1.1.5.16
Vì số dư là , nên câu trả lời cuối cùng là thương.
Bước 1.7.1.1.6
Viết ở dạng một tập hợp các thừa số.
Bước 1.7.1.2
Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.2.1
Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.2.1.1
Đối với đa thức có dạng , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là và có tổng là .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.2.1.1.1
Nhân với .
Bước 1.7.1.2.1.1.2
Viết lại ở dạng cộng
Bước 1.7.1.2.1.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.7.1.2.1.2
Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1.2.1.2.1
Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.
Bước 1.7.1.2.1.2.2
Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.
Bước 1.7.1.2.1.3
Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, .
Bước 1.7.1.2.2
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.
Bước 1.7.2
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 1.7.3
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.3.1
Đặt bằng với .
Bước 1.7.3.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 1.7.4
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.4.1
Đặt bằng với .
Bước 1.7.4.2
Giải để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.4.2.1
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 1.7.4.2.2
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.4.2.2.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 1.7.4.2.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.4.2.2.2.1
Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.
Bước 1.7.4.2.2.2.2
Chia cho .
Bước 1.7.4.2.2.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.4.2.2.3.1
Chia cho .
Bước 1.7.5
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.5.1
Đặt bằng với .
Bước 1.7.5.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 1.7.6
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Bước 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
Bước 3.2
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1.1
Nhân với mỗi phần tử của ma trận.
Bước 3.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1.2.1
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.2
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.3
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.4
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.5
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.6
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.7
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.8
Nhân với .
Bước 3.2.1.2.9
Nhân với .
Bước 3.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
Bước 3.2.3
Simplify each element.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.3.1
Trừ khỏi .
Bước 3.2.3.2
Cộng .
Bước 3.2.3.3
Cộng .
Bước 3.2.3.4
Cộng .
Bước 3.2.3.5
Trừ khỏi .
Bước 3.2.3.6
Cộng .
Bước 3.2.3.7
Cộng .
Bước 3.2.3.8
Cộng .
Bước 3.2.3.9
Trừ khỏi .
Bước 3.3
Find the null space when .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Bước 3.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Bước 3.3.2.1.2
Rút gọn .
Bước 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Bước 3.3.2.2.2
Rút gọn .
Bước 3.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Bước 3.3.2.3.2
Rút gọn .
Bước 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Bước 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Bước 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Bước 3.3.6
Write as a solution set.
Bước 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Bước 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
Bước 4.2
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.2.1.1
Nhân với mỗi phần tử của ma trận.
Bước 4.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.2.1.2.1
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.2
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.3
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.4
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.5
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.6
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.7
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.8
Nhân với .
Bước 4.2.1.2.9
Nhân với .
Bước 4.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
Bước 4.2.3
Simplify each element.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.2.3.1
Cộng .
Bước 4.2.3.2
Cộng .
Bước 4.2.3.3
Cộng .
Bước 4.2.3.4
Cộng .
Bước 4.2.3.5
Cộng .
Bước 4.2.3.6
Cộng .
Bước 4.2.3.7
Cộng .
Bước 4.2.3.8
Cộng .
Bước 4.2.3.9
Cộng .
Bước 4.3
Find the null space when .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Bước 4.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Bước 4.3.2.1.2
Rút gọn .
Bước 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Bước 4.3.2.2.2
Rút gọn .
Bước 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Bước 4.3.2.3.2
Rút gọn .
Bước 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Bước 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Bước 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Bước 4.3.6
Write as a solution set.
Bước 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Bước 5
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
Bước 5.2
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1.1
Nhân với mỗi phần tử của ma trận.
Bước 5.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1.2.1
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.2
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.3
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.4
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.5
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.6
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.7
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.8
Nhân với .
Bước 5.2.1.2.9
Nhân với .
Bước 5.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
Bước 5.2.3
Simplify each element.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.3.1
Trừ khỏi .
Bước 5.2.3.2
Cộng .
Bước 5.2.3.3
Cộng .
Bước 5.2.3.4
Cộng .
Bước 5.2.3.5
Trừ khỏi .
Bước 5.2.3.6
Cộng .
Bước 5.2.3.7
Cộng .
Bước 5.2.3.8
Cộng .
Bước 5.2.3.9
Trừ khỏi .
Bước 5.3
Find the null space when .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Bước 5.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Bước 5.3.2.1.2
Rút gọn .
Bước 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Bước 5.3.2.2.2
Rút gọn .
Bước 5.3.2.3
Swap with to put a nonzero entry at .
Bước 5.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Bước 5.3.2.4.2
Rút gọn .
Bước 5.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Bước 5.3.2.5.2
Rút gọn .
Bước 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Bước 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Bước 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Bước 5.3.6
Write as a solution set.
Bước 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Bước 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.