Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ 4 & 8 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 20 \\ - 44 \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ $ℝ^{0}$ tới $ℝ^{2}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

M: $ℝ^{0} \to ℝ^{2}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho $M$ .

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$M$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} - 20 \\ - 44 \end{array}]$

Bước 6

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 7

Vì tính chất biến đổi phép cộng không áp dụng được, nên đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$