Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Bước 1

Tìm các trị riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$

Bước 1.2

Ma trận đơn vị cỡ $2$ là ma trận vuông $2 \times 2$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Bước 1.3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Bước 1.3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{2}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Bước 1.4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Cộng $- 4$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 \\ - 2 & 2 - λ \end{array}]$

Bước 1.5

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Khai triển $(4 - λ) (2 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1.1

Nhân $4$ với $2$ .

$p (λ) = 8 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.2.2

Trừ $2 λ$ khỏi $- 4 λ$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Bước 1.5.2.1.3

Nhân $- (- 2 \cdot - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.3.1

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 8$

Bước 1.5.2.1.3.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 8$

Bước 1.5.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $8 - 6 λ + λ^{2} - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 0$

Bước 1.5.2.2.2

Cộng $- 6 λ + λ^{2}$ và $0$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2}$

Bước 1.5.2.3

Sắp xếp lại $- 6 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ$

Bước 1.6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$λ^{2} - 6 λ = 0$

Bước 1.7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Đưa $λ$ ra ngoài $λ^{2} - 6 λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Đưa $λ$ ra ngoài $λ^{2}$ .

$λ \cdot λ - 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.2

Đưa $λ$ ra ngoài $- 6 λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot - 6 = 0$

Bước 1.7.1.3

Đưa $λ$ ra ngoài $λ \cdot λ + λ \cdot - 6$ .

$λ (λ - 6) = 0$

Bước 1.7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$λ = 0$

$λ - 6 = 0$

Bước 1.7.3

Đặt $λ$ bằng với $0$ .

$λ = 0$

Bước 1.7.4

Đặt $λ - 6$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Đặt $λ - 6$ bằng với $0$ .

$λ - 6 = 0$

Bước 1.7.4.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$λ = 6$

Bước 1.7.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $λ (λ - 6) = 0$ đúng.

$λ = 0, 6$

Bước 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Bước 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $0$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Nhân $0$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.2

Nhân $0$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.3

Nhân $0$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.4

Nhân $0$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 + 0 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2.2

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Cộng $4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2.2.2

Cộng $- 4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2.2.3

Cộng $- 2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 + 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2.2.4

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Bước 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 4}{4} & \frac{0}{4} \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Bước 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Bước 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Bước 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Bước 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $- 6$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Nhân $- 6$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $- 6$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.3

Nhân $- 6$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.4

Nhân $- 6$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

Bước 4.2.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Trừ $6$ khỏi $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

Bước 4.2.3.2

Cộng $- 4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

Bước 4.2.3.3

Cộng $- 2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 & 2 - 6 \end{array}]$

Bước 4.2.3.4

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Bước 4.3

Find the null space when $λ = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 2 y = 0$

$0 = 0$

Bước 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 y \\ y \end{array}]$

Bước 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Bước 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Bước 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$