Đại số tuyến tính Ví dụ

$3 x - y - z = 3$ , $- 2 x + 3 y + z = 3$ , $4 x - 2 y - 2 z = 2$

Bước 1

Tìm $A X = B$ từ hệ phương trình.

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 3 & 1 \\ 4 & - 2 & - 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$

Bước 2

Tìm nghịch đảo của ma trận hệ số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 2.1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.2

Tính $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (3 \cdot - 2 - (- 2 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.1

Nhân $3$ với $- 2$ .

$3 (- 6 - (- 2 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.2.2.1.2

Nhân $- (- 2 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.2.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$3 (- 6 - - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.2.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$3 (- 6 + 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.2.2.2

Cộng $- 6$ và $2$ .

$3 \cdot - 4 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.3

Tính $| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 4 + 1 (- 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1.1

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$3 \cdot - 4 + 1 (4 - 4 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.3.2.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$3 \cdot - 4 + 1 (4 - 4) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.3.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.4

Tính $| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 (- 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 3)$

Bước 2.1.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1.1

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 (4 - 4 \cdot 3)$

Bước 2.1.4.2.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 (4 - 12)$

Bước 2.1.4.2.2

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 8$

Bước 2.1.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.1

Nhân $3$ với $- 4$ .

$- 12 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 8$

Bước 2.1.5.1.2

Nhân $0$ với $1$ .

$- 12 + 0 - 1 \cdot - 8$

Bước 2.1.5.1.3

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$- 12 + 0 + 8$

Bước 2.1.5.2

Cộng $- 12$ và $0$ .

$- 12 + 8$

Bước 2.1.5.3

Cộng $- 12$ và $8$ .

$- 4$

Bước 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 2.3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ - 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 3 + 2 (- \frac{1}{3}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (\frac{1}{3}) & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 2 - 4 (- \frac{1}{3}) & - 2 - 4 (- \frac{1}{3}) & 0 - 4 (\frac{1}{3}) & 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.4.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} & \frac{3}{7} \cdot 1 & \frac{3}{7} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{7} & - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{7} & 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} & 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.4.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{4}{7} & - \frac{8}{7} & \frac{2}{7} & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ - \frac{7}{4} \cdot 0 & - \frac{7}{4} \cdot 0 & - \frac{7}{4} (- \frac{4}{7}) & - \frac{7}{4} (- \frac{8}{7}) & - \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7} & - \frac{7}{4} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.4.6.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 2.4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{7} \cdot 0 & \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & \frac{2}{7} - \frac{1}{7} \cdot 2 & \frac{3}{7} - \frac{1}{7} (- \frac{1}{2}) & 0 - \frac{1}{7} (- \frac{7}{4}) \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 2.4.7.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 2.4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2 & 0 + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} (- \frac{7}{4}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 2.4.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{6} & - \frac{7}{12} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 2.4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} & - \frac{7}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 2.4.9.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Bước 3

Nhân vào phía bên trái hai vế phương trình với ma trận nghịch đảo.

$([\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 3 & 1 \\ 4 & - 2 & - 2 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$

Bước 4

Bất kỳ ma trận nào nhân với nghịch đảo của nó cũng sẽ luôn bằng $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$

Bước 5

Nhân $[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Bước 5.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 3 + 0 \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 0 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{4} \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{7}{4} \cdot 2 \end{array}]$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn vế trái và vế phải.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Bước 7

Tìm đáp án.

$x = 2$

$y = 2$

$z = 1$