Đại số tuyến tính Ví dụ

4 w - 5 x + 7 z = - 11

$4 w - 5 x + 7 z = - 11$

- w + 8 x + 3 y = 6

$- w + 8 x + 3 y = 6$

15 x - 2 y + 10 z = 9

$15 x - 2 y + 10 z = 9$

Bước 1

Viết hệ phương trình dưới dạng một ma trận.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & - 5 & 0 & 7 & - 11 - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & 0 & 7 & - 11 \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{1}

$R_{1}$ với

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ để số tại

1, 1

$1, 1$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{1}

$R_{1}$ với

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ để số tại

1, 1

$1, 1$ trở thành

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{0}{4} & \frac{7}{4} & \frac{- 11}{4} - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{0}{4} & \frac{7}{4} & \frac{- 11}{4} \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Bước 2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} - 1 + 1 \cdot 1 & 8 - \frac{5}{4} & 3 + 0 & 0 + \frac{7}{4} & 6 - \frac{11}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 8 - \frac{5}{4} & 3 + 0 & 0 + \frac{7}{4} & 6 - \frac{11}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Bước 2.3

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{4}{27}

$\frac{4}{27}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{4}{27}

$\frac{4}{27}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \frac{4}{27} \cdot 0 & \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} & \frac{4}{27} \cdot 3 & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{27} \cdot \frac{13}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ \frac{4}{27} \cdot 0 & \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} & \frac{4}{27} \cdot 3 & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{27} \cdot \frac{13}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Bước 2.4

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - 15 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 15 R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - 15 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 15 R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} 0 - 15 \cdot 0 & 15 - 15 \cdot 1 & - 2 - 15 (\frac{4}{9}) & 10 - 15 (\frac{7}{27}) & 9 - 15 (\frac{13}{27}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 - 15 \cdot 0 & 15 - 15 \cdot 1 & - 2 - 15 (\frac{4}{9}) & 10 - 15 (\frac{7}{27}) & 9 - 15 (\frac{13}{27}) \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 & 0 & - \frac{26}{3} & \frac{55}{9} & \frac{16}{9} \end{array}]$

Bước 2.5

Nhân mỗi phần tử của

$R_{3}$ với

$- \frac{3}{26}$ để số tại

$3, 3$ trở thành

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân mỗi phần tử của

$R_{3}$ với

$- \frac{3}{26}$ để số tại

$3, 3$ trở thành

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ - \frac{3}{26} \cdot 0 & - \frac{3}{26} \cdot 0 & - \frac{3}{26} (- \frac{26}{3}) & - \frac{3}{26} \cdot \frac{55}{9} & - \frac{3}{26} \cdot \frac{16}{9} \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Bước 2.6

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{9} R_{3}$ để số tại

$2, 3$ trở thành

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{9} R_{3}$ để số tại

$2, 3$ trở thành

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 - \frac{4}{9} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{9} \cdot 0 & \frac{4}{9} - \frac{4}{9} \cdot 1 & \frac{7}{27} - \frac{4}{9} (- \frac{55}{78}) & \frac{13}{27} - \frac{4}{9} (- \frac{8}{39}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{67}{117} & \frac{67}{117} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Bước 2.7

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ để số tại

$1, 2$ trở thành

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ để số tại

$1, 2$ trở thành

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{4} \cdot 0 & \frac{7}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{67}{117} & - \frac{11}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{67}{117} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{67}{117} & \frac{67}{117} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Bước 2.7.2

Rút gọn

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{577}{234} & - \frac{238}{117} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{67}{117} & \frac{67}{117} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$w + \frac{577}{234} z = - \frac{238}{117}$

$x + \frac{67}{117} z = \frac{67}{117}$

$y - \frac{55}{78} z = - \frac{8}{39}$

Bước 4

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(- \frac{238}{117} - \frac{577 z}{234}, \frac{67}{117} - \frac{67 z}{117}, - \frac{8}{39} + \frac{55 z}{78}, z)$