Đại số tuyến tính Ví dụ

$2 x_{1} + 3 x_{2} - 8 x_{3} = 105$ $- x_{1} + x_{2} - x_{3} = 10$ $8 x_{1} - 5 x_{2} + 3 x_{3} = - 10$

Bước 1

Viết hệ phương trình dưới dạng một ma trận.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 8 & 105 \\ - 1 & 1 & - 1 & 10 \\ 8 & - 5 & 3 & - 10 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 8}{2} & \frac{105}{2} \\ - 1 & 1 & - 1 & 10 \\ 8 & - 5 & 3 & - 10 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ - 1 & 1 & - 1 & 10 \\ 8 & - 5 & 3 & - 10 \end{array}]$

Bước 2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 1 - 4 & 10 + \frac{105}{2} \\ 8 & - 5 & 3 & - 10 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & - 5 & \frac{125}{2} \\ 8 & - 5 & 3 & - 10 \end{array}]$

Bước 2.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & - 5 & \frac{125}{2} \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 5 - 8 (\frac{3}{2}) & 3 - 8 \cdot - 4 & - 10 - 8 (\frac{105}{2}) \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & - 5 & \frac{125}{2} \\ 0 & - 17 & 35 & - 430 \end{array}]$

Bước 2.4

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{2}{5}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{2}{5}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot - 5 & \frac{2}{5} \cdot \frac{125}{2} \\ 0 & - 17 & 35 & - 430 \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 & 1 & - 2 & 25 \\ 0 & - 17 & 35 & - 430 \end{array}]$

Bước 2.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 17 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 17 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 & 1 & - 2 & 25 \\ 0 + 17 \cdot 0 & - 17 + 17 \cdot 1 & 35 + 17 \cdot - 2 & - 430 + 17 \cdot 25 \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 & 1 & - 2 & 25 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 2.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 25 + 2 \cdot - 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 4 & \frac{105}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 2.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & \frac{3}{2} + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & \frac{105}{2} + 4 \cdot - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 2.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{65}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 2.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{65}{2} - \frac{3}{2} \cdot 15 \\ 0 & 1 & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 2.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x_{1} = 10$

$x_{2} = 15$

$x_{3} = - 5$

Bước 4

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(10, 15, - 5)$