Đại số tuyến tính Ví dụ

$x + y + z + t = 4$ , $2 x - y - z - t = - 1$ , $x + y - 2 z = 0$ , $3 x + 3 t = 6$

Bước 1

Tìm $A X = B$ từ hệ phương trình.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Bước 2

Tìm nghịch đảo của ma trận hệ số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử $0$ nhất. Nếu không có phần tử $0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong hàng $4$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Bước 2.1.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí $-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 2.1.1.3

Định thức con của $a_{41}$ là định thức có hàng $4$ và cột $1$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.4

Nhân phần tử $a_{41}$ với đồng hệ số tương ứng.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.5

Định thức con của $a_{42}$ là định thức có hàng $4$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.6

Nhân phần tử $a_{42}$ với đồng hệ số tương ứng.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.7

Định thức con của $a_{43}$ là định thức có hàng $4$ và cột $3$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.8

Nhân phần tử $a_{43}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.1.9

Định thức con của $a_{44}$ là định thức có hàng $4$ và cột $4$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.1.1.10

Nhân phần tử $a_{44}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.1.1.11

Cộng các số hạng với nhau.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.1.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.1.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4

Tính $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử $0$ nhất. Nếu không có phần tử $0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong hàng $1$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 2.1.4.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí $-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 2.1.4.1.3

Định thức con của $a_{11}$ là định thức có hàng $1$ và cột $1$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.4.1.4

Nhân phần tử $a_{11}$ với đồng hệ số tương ứng.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.4.1.5

Định thức con của $a_{12}$ là định thức có hàng $1$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.4.1.6

Nhân phần tử $a_{12}$ với đồng hệ số tương ứng.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.4.1.7

Định thức con của $a_{13}$ là định thức có hàng $1$ và cột $3$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.1.4.1.8

Nhân phần tử $a_{13}$ với đồng hệ số tương ứng.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.1.4.1.9

Cộng các số hạng với nhau.

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.2

Tính $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.2.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.3

Tính $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.3.2.1.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.3.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.4

Tính $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.4.2.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.4.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.5.1.1

Nhân $3$ với $1$ .

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.5.1.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.5.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.5.2

Cộng $3$ và $3$ .

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.4.5.3

Cộng $6$ và $3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 2.1.5

Tính $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử $0$ nhất. Nếu không có phần tử $0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột $1$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 2.1.5.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí $-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 2.1.5.1.3

Định thức con của $a_{11}$ là định thức có hàng $1$ và cột $1$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.5.1.4

Nhân phần tử $a_{11}$ với đồng hệ số tương ứng.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.5.1.5

Định thức con của $a_{21}$ là định thức có hàng $2$ và cột $1$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.5.1.6

Nhân phần tử $a_{21}$ với đồng hệ số tương ứng.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Bước 2.1.5.1.7

Định thức con của $a_{31}$ là định thức có hàng $3$ và cột $1$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Bước 2.1.5.1.8

Nhân phần tử $a_{31}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Bước 2.1.5.1.9

Cộng các số hạng với nhau.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.3

Tính $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.3.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.3.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.4

Tính $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.4.2.1.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.4.2.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.5.1.1

Nhân $3$ với $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.5.1.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.5.2

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

Bước 2.1.5.5.3

Cộng $0$ và $0$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Bước 2.1.6

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1.1

Nhân $- 3$ với $9$ .

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Bước 2.1.6.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$- 27 + 0 + 0 + 0$

Bước 2.1.6.2

Cộng $- 27$ và $0$ .

$- 27 + 0 + 0$

Bước 2.1.6.3

Cộng $- 27$ và $0$ .

$- 27 + 0$

Bước 2.1.6.4

Cộng $- 27$ và $0$ .

$- 27$

Bước 2.2

Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.

Bước 2.3

Lập ma trận $4 \times 8$ trong đó nửa trái là ma trận gốc còn nửa phải là ma trận đơn vị.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ để số tại $4, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ để số tại $4, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.3

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{3}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{3}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.4

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ để số tại $4, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ để số tại $4, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.4.5.2

Rút gọn $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Bước 2.4.6

Nhân mỗi phần tử của $R_{4}$ với $- \frac{1}{9}$ để số tại $4, 4$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{4}$ với $- \frac{1}{9}$ để số tại $4, 4$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.4.6.2

Rút gọn $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ để số tại $3, 4$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ để số tại $3, 4$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.7.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ để số tại $1, 4$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ để số tại $1, 4$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.9

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.9.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.9.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.10

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.10.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.4.10.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2.5

Nửa bên phải của dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn là nghịch đảo.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 3

Nhân vào phía bên trái hai vế phương trình với ma trận nghịch đảo.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Bước 4

Bất kỳ ma trận nào nhân với nghịch đảo của nó cũng sẽ luôn bằng $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Bước 5

Nhân $[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là $4 \times 4$ và ma trận thứ hai là $4 \times 1$ .

Bước 5.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn vế trái và vế phải.

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Bước 7

Tìm đáp án.

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$