Đại số tuyến tính Ví dụ

$9 x_{2} - 7 x_{3} = 2$ $- x_{3} = - 2$ $- 3 x_{1} + 6 x_{2} + 8 x_{3} = 1$

Bước 1

Viết hệ phương trình dưới dạng một ma trận.

$[\begin{array}{c} 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ - 3 & 6 & 8 & 1 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hoán đổi $R_{3}$ với $R_{1}$ để đặt một số khác không tại $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Bước 2.2

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{3}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{3}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 8 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Bước 2.3

Hoán đổi $R_{3}$ với $R_{2}$ để đặt một số khác không tại $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 2.4

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{9}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{9}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{- 7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 2.5

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- 1$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- 1$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Bước 2.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 + \frac{7}{9} \cdot 0 & 1 + \frac{7}{9} \cdot 0 & - \frac{7}{9} + \frac{7}{9} \cdot 1 & \frac{2}{9} + \frac{7}{9} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Bước 2.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - 2 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Bước 2.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Bước 2.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 5 + 2 (\frac{16}{9}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Bước 2.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{77}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x_{1} = \frac{77}{9}$

$x_{2} = \frac{16}{9}$

$x_{3} = 2$

Bước 4

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(\frac{77}{9}, \frac{16}{9}, 2)$