Đại số tuyến tính Ví dụ

8 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 1

Tính khoảng cách từ

(a, b)

$(a, b)$ đến gốc tọa độ bằng công thức

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(8 cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Bước 2

Rút gọn

\sqrt{{(8 cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}

$\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ là

0

$0$ .

r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Bước 2.2

Nhân

8

$8$ với

0

$0$ .

r = \sqrt{0^{2} + {(sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Bước 2.3

Nâng

0

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

0

$0$ .

r = \sqrt{0 + {(sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Bước 2.4

Giá trị chính xác của

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ là

1

$1$ .

r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Bước 2.5

Nhân

8

$8$ với

1

$1$ .

r = \sqrt{0 + 8^{2}}

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Bước 2.6

Nâng

8

$8$ lên lũy thừa

2

$2$ .

r = \sqrt{0 + 64}

$r = \sqrt{0 + 64}$

Bước 2.7

Cộng

0

$0$ và

64

$64$ .

r = \sqrt{64}

$r = \sqrt{64}$

Bước 2.8

Viết lại

64

$64$ ở dạng

8^{2}

$8^{2}$ .

r = \sqrt{8^{2}}

$r = \sqrt{8^{2}}$

Bước 2.9

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

r = 8

$r = 8$

r = 8

$r = 8$

Bước 3

Tính góc quy chiếu

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ ∣ \frac{sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 cos (\frac{π}{2})} ∣ ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Bước 4

Phương trình này có một phân số không xác định

Không xác định

Bước 5

Tìm góc phần tư.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị chính xác của

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ là

0

$0$ .

(8 \cdot 0, sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Bước 5.2

Nhân

8

$8$ với

0

$0$ .

(0, sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Bước 5.3

Giá trị chính xác của

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ là

1

$1$ .

(0, 1 \cdot 8)

$(0, 1 \cdot 8)$

Bước 5.4

Nhân

8

$8$ với

1

$1$ .

(0, 8)

$(0, 8)$

Bước 5.5

Vì tọa độ y dương và tọa độ x

0

$0$ nên điểm nằm trên trục y giữa góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Các góc phần tư được đặt tên theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu ở phía trên bên phải.

Giữa góc phần tư

1

$1$ và

2

$2$

Giữa góc phần tư

1

$1$ và

2

$2$

Bước 6

Dùng công thức để tìm các nghiệm của số phức.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Bước 7

Thay

r

$r$ ,

n

$n$ , và

θ

$θ$ vào công thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp

{(8)}^{\frac{1}{3}}

${(8)}^{\frac{1}{3}}$ và

\frac{θ + 2 π k}{3}

$\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Bước 7.2

Kết hợp

c

$c$ và

\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Bước 7.3

Kết hợp

i

$i$ và

\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Bước 7.4

Kết hợp

s

$s$ và

\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Bước 7.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Bước 7.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Bước 7.5.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Bước 7.5.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Bước 7.5.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Bước 7.5.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Bước 7.5.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Bước 8

Thay

k = 0

$k = 0$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại

8

$8$ ở dạng

2^{3}

$2^{3}$ .

k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Bước 8.3

Triệt tiêu thừa số chung

3

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Bước 8.3.2

Viết lại biểu thức.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Bước 8.4

Tính số mũ.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Bước 8.5

Nhân

$2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân

$0$ với

$2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Bước 8.5.2

Nhân

$0$ với

$π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Bước 9

Thay

$k = 1$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại

$8$ ở dạng

$2^{3}$ .

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Bước 9.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Bước 9.3.2

Viết lại biểu thức.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Bước 9.4

Tính số mũ.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Bước 9.5

Nhân

$2$ với

$1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Bước 10

Thay

$k = 2$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại

$8$ ở dạng

$2^{3}$ .

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Bước 10.3.2

Viết lại biểu thức.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Bước 10.4

Tính số mũ.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Bước 10.5

Nhân

$2$ với

$2$ .

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Bước 11

Liệt kê các đáp án.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$