Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

Bước 1

Để xác định xem các cột trong ma trận có phụ thuộc tuyến tính hay không, hãy xác định xem phương trình $A x = 0$ có nghiệm không tầm thường hay không.

Bước 2

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Bước 3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Bước 3.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Bước 3.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{1}{15}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{1}{15}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.4

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

Bước 3.5

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- \frac{3}{7}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- \frac{3}{7}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4

Viết ma trận ở dạng một hệ phương trình bậc nhất.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Bước 5

Vì nghiệm duy nhất của $A x = 0$ là nghiệm tầm thường nên các vectơ không phụ thuộc tuyến tính.

Độc lập tuyến tính