Đại số tuyến tính Ví dụ

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x - 5 = 0

$y - 2 z + x - 5 = 0$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Bước 1

Di chuyển các biến sang vế trái và các số hạng không đổi sang vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng

5

$5$ cho cả hai vế của phương trình.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x = 5

$y - 2 z + x = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Bước 1.2

Di chuyển

- 2 z

$- 2 z$ .

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y + x - 2 z = 5

$y + x - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Bước 1.3

Sắp xếp lại

y

$y$ và

x

$x$ .

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Bước 1.4

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Trừ

4 y

$4 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y = - z

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Bước 1.4.2

Cộng

z

$z$ cho cả hai vế của phương trình.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Bước 1.5

Trừ

3

$3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Bước 2

Viết hệ phương trình dưới dạng một ma trận.

[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Bước 3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{1}

$R_{1}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

1, 1

$1, 1$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{1}

$R_{1}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

1, 1

$1, 1$ trở thành

1

$1$ .

[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Bước 3.1.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Bước 3.2

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 2 - \frac{1}{2} & 5 - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 2 - \frac{1}{2} & 5 - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Bước 3.3

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 (- \frac{3}{2}) & 1 + 2 (\frac{1}{2}) & - 3 + 2 \cdot 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 (- \frac{3}{2}) & 1 + 2 (\frac{1}{2}) & - 3 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.5

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 2 + 7 \cdot - 1 & 1 + 7 (\frac{6}{5}) \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 2 + 7 \cdot - 1 & 1 + 7 (\frac{6}{5}) \end{array}]$

Bước 3.5.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]$

Bước 3.6

Nhân mỗi phần tử của

R_{3}

$R_{3}$ với

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ để số tại

3, 3

$3, 3$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{3}

$R_{3}$ với

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ để số tại

3, 3

$3, 3$ trở thành

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot \frac{47}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot \frac{47}{5} \end{array}]$

Bước 3.6.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Bước 3.7

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} + R_{3}

$R_{2} = R_{2} + R_{3}$ để số tại

2, 3

$2, 3$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} + R_{3}

$R_{2} = R_{2} + R_{3}$ để số tại

2, 3

$2, 3$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{6}{5} - \frac{47}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{6}{5} - \frac{47}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Bước 3.7.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Bước 3.8

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ để số tại

1, 3

$1, 3$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ để số tại

1, 3

$1, 3$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} (- \frac{47}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} (- \frac{47}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Bước 3.8.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Bước 3.9

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{147}{50} + \frac{3}{2} (- \frac{17}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{147}{50} + \frac{3}{2} (- \frac{17}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Bước 3.9.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Bước 4

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

x = \frac{48}{25}

$x = \frac{48}{25}$

y = - \frac{17}{25}

$y = - \frac{17}{25}$

z = - \frac{47}{25}

$z = - \frac{47}{25}$

Bước 5

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

(\frac{48}{25}, - \frac{17}{25}, - \frac{47}{25})

$(\frac{48}{25}, - \frac{17}{25}, - \frac{47}{25})$