Đại số tuyến tính Ví dụ

$B = {[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}], [\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]}$

Bước 1

Để xác định xem các cột trong ma trận có phụ thuộc tuyến tính hay không, hãy xác định xem phương trình $A x = 0$ có nghiệm không tầm thường hay không.

Bước 2

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Bước 3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- 1$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- 1$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Bước 3.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Bước 3.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Bước 3.4

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{19}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{19}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Bước 3.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Bước 3.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

Bước 3.6

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- \frac{19}{146}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- \frac{19}{146}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.6.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.7.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.9

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.9.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4

Viết ma trận ở dạng một hệ phương trình bậc nhất.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Bước 5

Vì nghiệm duy nhất của $A x = 0$ là nghiệm tầm thường nên các vectơ không phụ thuộc tuyến tính.

Độc lập tuyến tính