Đại số tuyến tính Ví dụ

3 (cos (π) + i sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Bước 1

Tính khoảng cách từ

(a, b)

$(a, b)$ đến gốc tọa độ bằng công thức

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2

Rút gọn

\sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

r = \sqrt{{(3 (- cos (0)))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2.2

Giá trị chính xác của

cos (0)

$\cos (0)$ là

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2.3

Nhân

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2.3.2

Nhân

3

$3$ với

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2.4

Nâng

- 3

$- 3$ lên lũy thừa

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

r = \sqrt{9 + {(sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2.6

Giá trị chính xác của

sin (0)

$\sin (0)$ là

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Bước 2.7

Nhân

0

$0$ với

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Bước 2.8

Nâng

0

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Bước 2.9

Cộng

9

$9$ và

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Bước 2.10

Viết lại

9

$9$ ở dạng

3^{2}

$3^{2}$ .

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Bước 2.11

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Bước 3

Tính góc quy chiếu

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Bước 4

Rút gọn

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung

3

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Bước 4.1.2

Viết lại biểu thức.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Bước 4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Bước 4.2.2

Giá trị chính xác của

$\sin (0)$ là

$0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Bước 4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Bước 4.3.2

Giá trị chính xác của

$\cos (0)$ là

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Bước 4.3.3

Nhân

$- 1$ với

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Chuyển âm một từ mẫu số của

$\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Bước 4.4.2

Nhân

$- 1$ với

$0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Bước 4.5

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

$0$ và

$0$ là

$0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

Bước 4.6

Giá trị chính xác của

$\arctan (0)$ là

$0$ .

$θ̂ = 0$

Bước 5

Tìm góc phần tư.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Bước 5.2

Giá trị chính xác của

$\cos (0)$ là

$1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Bước 5.3

Nhân

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân

$- 1$ với

$1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Bước 5.3.2

Nhân

$3$ với

$- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Bước 5.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Bước 5.5

Giá trị chính xác của

$\sin (0)$ là

$0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Bước 5.6

Nhân

$0$ với

$3$ .

$(- 3, 0)$

Bước 5.7

Vì tọa độ x âm và tọa độ y

$0$ nên điểm nằm trên trục x giữa góc phần tư thứ hai và thứ ba. Các góc phần tư được đặt tên theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu ở phía trên bên phải.

Giữa góc phần tư

$2$ và

$3$

Giữa góc phần tư

$2$ và

$3$

Bước 6

Dùng công thức để tìm các nghiệm của số phức.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Bước 7

Thay

$r$ ,

$n$ , và

$θ$ vào công thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp

${(3)}^{\frac{1}{4}}$ và

$\frac{θ + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Bước 7.2

Kết hợp

$c$ và

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Bước 7.3

Kết hợp

$i$ và

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Bước 7.4

Kết hợp

$s$ và

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Bước 7.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Bước 7.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Bước 7.5.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k))}{4}$

Bước 7.5.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Bước 7.5.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k)}{4}$

Bước 7.5.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Bước 7.5.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Bước 8

Thay

$k = 0$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{4})$

Bước 8.2

Nhân

$2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân

$0$ với

$2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0 π}{4})$

Bước 8.2.2

Nhân

$0$ với

$π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

Bước 9

Thay

$k = 1$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{4})$

Bước 9.2

Nhân

$2$ với

$1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

Bước 10

Thay

$k = 2$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{4})$

Bước 10.2

Nhân

$2$ với

$2$ .

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

Bước 11

Thay

$k = 3$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (3)}{4})$

Bước 11.2

Nhân

$3$ với

$2$ .

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$

Bước 12

Liệt kê các đáp án.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$