Đại số tuyến tính Ví dụ

$- 2 x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} = 9$ $- x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ $x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 2$

Bước 1

Viết hệ phương trình dưới dạng một ma trận.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 6 & - 3 & 9 \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 9 \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Bước 2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 3 & - 1 + \frac{3}{2} & 1 - \frac{9}{2} \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Bước 2.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{2} \\ 1 - 1 & - 1 - 3 & 2 - \frac{3}{2} & 2 + \frac{9}{2} \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{2} \\ 0 & - 4 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2} \end{array}]$

Bước 2.4

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{4}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{4}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{1}{2}}{4} & \frac{- \frac{7}{2}}{4} \\ 0 & - 4 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2} \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2} \end{array}]$

Bước 2.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & - \frac{7}{8} \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & \frac{1}{2} + 4 (\frac{1}{8}) & \frac{13}{2} + 4 (- \frac{7}{8}) \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & - \frac{7}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Bước 2.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{8} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{8} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 - \frac{1}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{8} \cdot 0 & \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot 1 & - \frac{7}{8} - \frac{1}{8} \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Bước 2.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 3 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{9}{2} - \frac{3}{2} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Bước 2.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Bước 2.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 9 - 3 (- \frac{5}{4}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Bước 2.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{21}{4} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x_{1} = - \frac{21}{4}$

$x_{2} = - \frac{5}{4}$

$x_{3} = 3$

Bước 4

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(- \frac{21}{4}, - \frac{5}{4}, 3)$