Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Bước 1

Tìm nghịch đảo của $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Có thể tìm nghịch đảo của một ma trận $2 \times 2$ bằng công thức $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ trong đó $a d - b c$ là định thức.

Bước 1.2

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Bước 1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Bước 1.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Bước 1.2.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Bước 1.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Bước 1.2.2.1.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Bước 1.2.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Bước 1.2.2.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$3 - 1 \cdot 2$

Bước 1.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 - 2$

Bước 1.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$1$

Bước 1.3

Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.

Bước 1.4

Thay các giá trị đã biết vào công thức cho nghịch đảo.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 1.5

Chia $1$ cho $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 1.6

Nhân $1$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Bước 1.7

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $27$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Bước 1.7.2

Nhân $- 6$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Bước 1.7.3

Nhân $- \frac{1}{3}$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Bước 1.7.4

Nhân $\frac{1}{9}$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Bước 2

Nhân cả hai vế với nghịch đảo của $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Bước 3

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là $2 \times 2$ và ma trận thứ hai là $2 \times 2$ .

Bước 3.1.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Bước 3.1.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Bước 3.2

Nhân ma trận đơn vị với ma trận bất kỳ $A$ đều được chính ma trận $A$ .

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Bước 3.3

Nhân $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Bước 3.3.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Bước 3.3.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$