Đại số tuyến tính Ví dụ

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 6 & 0 & - 2 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử

0

$0$ nhất. Nếu không có phần tử

0

$0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột

2

$2$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí

-

$-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 1.1.3

Định thức con của

a_{12}

$a_{12}$ là định thức có hàng

1

$1$ và cột

2

$2$ bị xóa.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.4

Nhân phần tử

a_{12}

$a_{12}$ với đồng hệ số tương ứng.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.5

Định thức con của

a_{22}

$a_{22}$ là định thức có hàng

2

$2$ và cột

2

$2$ bị xóa.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.6

Nhân phần tử

a_{22}

$a_{22}$ với đồng hệ số tương ứng.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.7

Định thức con của

a_{32}

$a_{32}$ là định thức có hàng

3

$3$ và cột

2

$2$ bị xóa.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.1.8

Nhân phần tử

a_{32}

$a_{32}$ với đồng hệ số tương ứng.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.1.9

Cộng các số hạng với nhau.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.2

Nhân

0

$0$ với

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.3

Nhân

0

$0$ với

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 1.4

Tính

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Bước 1.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nhân

$6$ với

$0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân

$- 1$ với

$- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Bước 1.4.2.2

Cộng

$0$ và

$2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Bước 1.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân

$2$ với

$1$ .

$2 + 0 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng

$2$ và

$0$ .

$2 + 0$

Bước 1.5.3

Cộng

$2$ và

$0$ .

$2$

Bước 2

Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.

Bước 3

Lập ma trận

$3 \times 6$ trong đó nửa trái là ma trận gốc còn nửa phải là ma trận đơn vị.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hoán đổi

$R_{2}$ với

$R_{1}$ để đặt một số khác không tại

$1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.2

Nhân mỗi phần tử của

$R_{1}$ với

$\frac{1}{6}$ để số tại

$1, 1$ trở thành

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân mỗi phần tử của

$R_{1}$ với

$\frac{1}{6}$ để số tại

$1, 1$ trở thành

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Rút gọn

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.3

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại

$3, 1$ trở thành

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại

$3, 1$ trở thành

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Rút gọn

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Bước 4.4

Nhân mỗi phần tử của

$R_{2}$ với

$- 1$ để số tại

$2, 2$ trở thành

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân mỗi phần tử của

$R_{2}$ với

$- 1$ để số tại

$2, 2$ trở thành

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Bước 4.4.2

Rút gọn

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Bước 4.5

Nhân mỗi phần tử của

$R_{3}$ với

$3$ để số tại

$3, 3$ trở thành

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân mỗi phần tử của

$R_{3}$ với

$3$ để số tại

$3, 3$ trở thành

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.5.2

Rút gọn

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.6

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ để số tại

$2, 3$ trở thành

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ để số tại

$2, 3$ trở thành

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.6.2

Rút gọn

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.7

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ để số tại

$1, 3$ trở thành

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ để số tại

$1, 3$ trở thành

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.7.2

Rút gọn

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 5

Nửa bên phải của dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn là nghịch đảo.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$