Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử $0$ nhất. Nếu không có phần tử $0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột $2$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí $-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 1.1.3

Định thức con của $a_{12}$ là định thức có hàng $1$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.4

Nhân phần tử $a_{12}$ với đồng hệ số tương ứng.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.5

Định thức con của $a_{22}$ là định thức có hàng $2$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.6

Nhân phần tử $a_{22}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Bước 1.1.7

Định thức con của $a_{32}$ là định thức có hàng $3$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.1.8

Nhân phần tử $a_{32}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.1.9

Cộng các số hạng với nhau.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Bước 1.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Bước 1.4

Tính $| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Bước 1.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nhân $6$ với $0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Bước 1.4.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Bước 1.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 0 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.5.3

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2

Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.

Bước 3

Lập ma trận $3 \times 6$ trong đó nửa trái là ma trận gốc còn nửa phải là ma trận đơn vị.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hoán đổi $R_{2}$ với $R_{1}$ để đặt một số khác không tại $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.2

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{6}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{6}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Bước 4.4

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- 1$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- 1$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Bước 4.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Bước 4.5

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $3$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $3$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 4.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Bước 5

Nửa bên phải của dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn là nghịch đảo.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$