Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ và có tổng là $b = - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $- 11$ ra ngoài $- 11 x$ .

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 (x) - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $- 11$ ở dạng $4$ cộng $- 15$

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + (4 - 15) x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + 4 x - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x^{2} + 4 x) - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x^{2} + 13}{x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 x + 4$ .

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$(3 x + 4) (x - 5), x - 5, 3 x + 4$

Bước 2.2

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.3

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.4

BCNN của $1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 2.5

Thừa số cho $3 x + 4$ là chính nó $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.6

Thừa số cho $x - 5$ là chính nó $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.7

Thừa số cho $3 x + 4$ là chính nó $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.8

BCNN của $3 x + 4, x - 5, x - 5, 3 x + 4$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$(3 x + 4) (x - 5)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ với $(3 x + 4) (x - 5)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ với $(3 x + 4) (x - 5)$ .

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $(3 x + 4) (x - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + 13 - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{x - 5}$ vào tử số.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.2.2

Đưa $x - 5$ ra ngoài $(3 x + 4) (x - 5)$ .

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x + 4) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x) - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.4

Nhân $3$ với $- 2$ .

$x^{2} + 13 - 6 x - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.1.5

Nhân $- 2$ với $4$ .

$x^{2} + 13 - 6 x - 8 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.2.2

Trừ $8$ khỏi $13$ .

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 (x - 5)$

Bước 3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x + 2 \cdot - 5$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $- 5$ .

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x - 10$

Bước 4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 6 x + 5 - 2 x = - 10$

Bước 4.1.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 6 x$ .

$x^{2} - 8 x + 5 = - 10$

Bước 4.2

Cộng $10$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 8 x + 5 + 10 = 0$

Bước 4.3

Cộng $5$ và $10$ .

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$

Bước 4.4

Phân tích $x^{2} - 8 x + 15$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $15$ và tổng của chúng là $- 8$ .

$- 5, - 3$

Bước 4.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 5) (x - 3) = 0$

Bước 4.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 4.6

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 4.6.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 4.7

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 4.7.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 4.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 5) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = 5, 3$

Bước 5

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ đúng.

$x = 3$