Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

Bước 1

Viết $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ ở dạng một phương trình.

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ .

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

Bước 3.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

Bước 3.3

Viết lại $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$2^{x - 5} = y - 8$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $y - 8 = 2^{x - 5}$ .

$y - 8 = 2^{x - 5}$

Bước 3.4.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 2^{x - 5} + 8$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ có là hàm ngược của $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

Bước 5.2.3.2

Cộng $\log_{2} (x - 8)$ và $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

Bước 5.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 8 + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $- 8$ và $8$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (2^{x - 5} + 8)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

Bước 5.3.3.2

Cộng $2^{x - 5}$ và $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 5$ ra khỏi số mũ.

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

Bước 5.3.4.2

Logarit cơ số $2$ của $2$ là $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Bước 5.3.4.3

Nhân $x - 5$ với $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 5 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ là hàm ngược của $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$