Toán hữu hạn Ví dụ

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Bước 1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Bước 2.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Bước 2.1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Bước 2.1.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Bước 2.1.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.2.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Bước 2.1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Bước 2.2

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Bước 2.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.7.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.9

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.10

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.11

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 2.11.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 2.12

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.13

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3$

Bước 2.13.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Bước 2.13.1.3

Vế trái $- 3.\overline{6}$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.13.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 0.31$

Bước 2.13.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 0.31$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Bước 2.13.2.3

Vế trái $1.91580645$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.13.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 2.13.3.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Bước 2.13.3.3

Vế trái $- 1$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.13.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 2.13.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Bước 2.13.4.3

Vế trái $2.75$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.13.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Sai

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Sai

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Đúng

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Sai

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Sai

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Đúng

Bước 2.14

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ hoặc $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 4

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Bước 5