Toán hữu hạn Ví dụ

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Bước 2

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Bước 2.3

Phân tích $x^{2} - 7 x + 12$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $12$ và tổng của chúng là $- 7$ .

$- 4, - 3$

Bước 2.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Bước 3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Bước 3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$(x - 4) (x - 3)$

Bước 4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ với $(x - 4) (x - 3)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ với $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $(x - 4) (x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.2

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.3.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.2.3.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Khai triển $(x - 4) (x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Bước 4.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Bước 4.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Bước 4.3.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Bước 4.3.2.1.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Bước 4.3.2.1.3

Nhân $- 4$ với $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Bước 4.3.2.2

Trừ $4 x$ khỏi $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Bước 4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Bước 4.3.4.2

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Bước 5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Bước 5.2

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Bước 5.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Bước 5.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5.5

Thay các giá trị $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ , và $c = 12 y + 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.2

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.4

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.5

Khai triển $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.6.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6.1.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.6.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6.1.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6.1.3

Nhân $- 4$ với $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6.1.5

Nhân $12$ với $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6.1.6

Nhân $4$ với $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.6.2

Cộng $- 4 y$ và $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.6.7

Trừ $48 y^{2}$ khỏi $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Bước 5.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$