Toán hữu hạn Ví dụ

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ không xác định.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Bước 2

Các tiệm cận đứng xảy ra tại các khu vực của điểm gián đoạn vô cùng.

Không có các tiệm cận đứng

Bước 3

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $12 x + 30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Bước 3.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Bước 3.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Bước 3.1.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Bước 3.1.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Bước 3.1.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16 x + 40$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Bước 3.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Bước 3.1.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Bước 3.1.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Bước 3.1.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Bước 3.1.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.3

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4.1.2

Chia $6$ cho $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4.5

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.4.6

Chuyển số hạng $15$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Bước 3.7

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Bước 3.8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Bước 3.8.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Bước 3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Bước 3.8.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Bước 3.8.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Bước 3.8.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Bước 3.8.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Bước 3.8.6

Chuyển số hạng $10$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Bước 3.9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Bước 3.10

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Bước 3.10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Chia $6 + 15 \cdot 0$ cho $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Bước 3.10.2.2

Chia $4 + 10 \cdot 0$ cho $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6 + 15 \cdot 0$ và $4 + 10 \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.3.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.3.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Bước 3.10.2.3.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Bước 3.10.2.3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Bước 3.10.2.3.5.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.1

Nhân $0$ với $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.5.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Bước 3.10.2.5.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{3}{2}$

Bước 4

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = \frac{3}{2}$

Bước 5

Không có tiệm cận xiên vì bậc của tử số nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu số.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 6

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Không có các tiệm cận đứng

Các tiệm cận ngang: $y = \frac{3}{2}$

Không có các tiệm cận xiên

Bước 7