Toán hữu hạn Ví dụ

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $4 y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Bước 1.1.3

Di chuyển $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Bước 1.1.4

Di chuyển $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Bước 1.2

Cộng $63$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Bước 1.3

Hoàn thành bình phương cho $9 x^{2} - 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Bước 1.3.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.3.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Bước 1.3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Bước 1.3.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Bước 1.3.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Bước 1.3.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 9}{9}$

Bước 1.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 9$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Bước 1.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Bước 1.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Bước 1.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 1.3.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 1.3.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1.1

Nâng $- 18$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Bước 1.3.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Bước 1.3.4.2.1.3

Chia $324$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Bước 1.3.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$e = 0 - 9$

Bước 1.3.4.2.2

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$e = - 9$

Bước 1.3.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Bước 1.4

Thay $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ cho $9 x^{2} - 18 x$ trong phương trình $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Bước 1.5

Di chuyển $- 9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Bước 1.6

Hoàn thành bình phương cho $- 4 y^{2} - 24 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Bước 1.6.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.6.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.6.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Bước 1.6.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.6.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Bước 1.6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Bước 1.6.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.2.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Bước 1.6.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Bước 1.6.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{1}$

Bước 1.6.3.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$d = 3$

Bước 1.6.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.2.1.1

Nâng $- 24$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.6.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Bước 1.6.4.2.1.3

Chia $576$ cho $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Bước 1.6.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Bước 1.6.4.2.2

Cộng $0$ và $36$ .

$e = 36$

Bước 1.6.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Bước 1.7

Thay $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ cho $- 4 y^{2} - 24 y$ trong phương trình $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Bước 1.8

Di chuyển $36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Bước 1.9

Rút gọn $63 + 9 - 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Cộng $63$ và $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Bước 1.9.2

Trừ $36$ khỏi $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Bước 1.10

Chia mỗi số hạng cho $36$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Bước 1.11

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Bước 4

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Bước 5

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Bước 5.2

Rút gọn $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Bước 5.2.1.3

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Bước 5.2.1.4

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Bước 5.2.1.4.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Bước 5.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Bước 5.2.2

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Bước 5.2.5.2

Trừ $6$ khỏi $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Bước 5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Bước 6

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Bước 6.2

Rút gọn $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Bước 6.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Bước 6.2.1.4

Nhân $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Bước 6.2.1.4.2

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Bước 6.2.1.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Bước 6.2.2

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 6.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Bước 6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Bước 6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Bước 6.2.5.2

Trừ $6$ khỏi $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Bước 6.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Bước 7

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Bước 8

Các tiệm cận là $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ và $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Các đường tiệm cận: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Bước 9