Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

Bước 1

Khai triển $(k + 1) (k + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Bước 2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân $k$ với $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Bước 2.1.2

Nhân $k$ với $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

Bước 2.1.3

Nhân $k$ với $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

Bước 2.2

Cộng $k$ và $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

Bước 3

Để viết $k^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

Bước 4

Kết hợp $k^{2}$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Bước 6

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

Bước 7

Đưa $\frac{1}{6}$ ra ngoài mỗi số hạng.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 9

Nhân $k$ với $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 10

Nhân $k$ với $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 11

Khai triển $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 11.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.2

Nhân $k^{2}$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Di chuyển $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.2.2

Nhân $k$ với $k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.1

Nâng $k$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.3

Nhân $k^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.5

Nhân $k$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.5.1

Di chuyển $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.5.2

Nhân $k$ với $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.1.6

Nhân $k$ với $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 12.2

Cộng $k^{2}$ và $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Bước 13

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

Bước 14

Cộng $12 k$ và $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

Bước 15

Cộng $3 k^{2}$ và $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

Bước 16

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Viết lại $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Phân tích $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Bước 16.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Bước 16.1.1.3

Thay $- 1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.3.1

Thay $- 1$ vào đa thức.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Bước 16.1.1.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Bước 16.1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Bước 16.1.1.3.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

Bước 16.1.1.3.5

Nhân $9$ với $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

Bước 16.1.1.3.6

Cộng $- 2$ và $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

Bước 16.1.1.3.7

Nhân $13$ với $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

Bước 16.1.1.3.8

Trừ $13$ khỏi $7$ .

$- 6 + 6$

Bước 16.1.1.3.9

Cộng $- 6$ và $6$ .

$0$

Bước 16.1.1.4

Vì $- 1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $k + 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

Bước 16.1.1.5

Chia $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ cho $k + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

Bước 16.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 k^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

Bước 16.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

Bước 16.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 k^{3} + 2 k^{2}$

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

Bước 16.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

Bước 16.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Bước 16.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $7 k^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Bước 16.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

Bước 16.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $7 k^{2} + 7 k$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

Bước 16.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

Bước 16.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Bước 16.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $6 k$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Bước 16.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

Bước 16.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $6 k + 6$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

Bước 16.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

Bước 16.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Bước 16.1.1.6

Viết $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

Bước 16.1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ và có tổng là $b = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

Bước 16.1.2.1.1.2

Viết lại $7$ ở dạng $3$ cộng $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

Bước 16.1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

Bước 16.1.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

Bước 16.1.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

Bước 16.1.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

Bước 16.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

Bước 16.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$