Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$

Bước 1

Viết $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ ở dạng một phương trình.

$y = \log_{3} (x - 4) + 2$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \log_{3} (y - 4) + 2$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\log_{3} (y - 4) + 2 = x$ .

$\log_{3} (y - 4) + 2 = x$

Bước 3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\log_{3} (y - 4) = x - 2$

Bước 3.3

Viết lại $\log_{3} (y - 4) = x - 2$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$3^{x - 2} = y - 4$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $y - 4 = 3^{x - 2}$ .

$y - 4 = 3^{x - 2}$

Bước 3.4.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 3^{x - 2} + 4$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$ có là hàm ngược của $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{(\log_{3} (x - 4) + 2) - 2} + 4$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3^{(\log_{3} (x - 4) + 2) - 2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{\log_{3} (x - 4) + 0} + 4$

Bước 5.2.3.2

Cộng $\log_{3} (x - 4)$ và $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{\log_{3} (x - 4)} + 4$

Bước 5.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x - 4 + 4$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 4 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (3^{x - 2} + 4)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} ((3^{x - 2} + 4) - 4) + 2$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\log_{3} ((3^{x - 2} + 4) - 4) + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} (3^{x - 2} + 0) + 2$

Bước 5.3.3.2

Cộng $3^{x - 2}$ và $0$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} (3^{x - 2}) + 2$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 2$ ra khỏi số mũ.

$f (3^{x - 2} + 4) = (x - 2) \log_{3} (3) + 2$

Bước 5.3.4.2

Logarit cơ số $3$ của $3$ là $1$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Bước 5.3.4.3

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$ là hàm ngược của $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$