Toán hữu hạn Ví dụ

Tìm hàm ngược f(x)=(x^2-1)/(x-1)
f(x)=x2-1x-1f(x)=x21x1
Bước 1
Viết f(x)=x2-1x-1f(x)=x21x1 ở dạng một phương trình.
y=x2-1x-1y=x21x1
Bước 2
Hoán đổi vị trí các biến.
x=y2-1y-1x=y21y1
Bước 3
Giải tìm yy.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Viết lại phương trình ở dạng y2-1y-1=xy21y1=x.
y2-1y-1=xy21y1=x
Bước 3.2
Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1
Viết lại 11 ở dạng 1212.
y2-12y-1=xy212y1=x
Bước 3.2.2
Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, a2-b2=(a+b)(a-b)a2b2=(a+b)(ab) trong đó a=ya=yb=1b=1.
(y+1)(y-1)y-1=x(y+1)(y1)y1=x
Bước 3.2.3
Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.3.1
Rút gọn biểu thức (y+1)(y-1)y-1(y+1)(y1)y1 bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.3.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
(y+1)(y-1)y-1=x(y+1)(y1)y1=x
Bước 3.2.3.1.2
Viết lại biểu thức.
y+11=xy+11=x
y+11=xy+11=x
Bước 3.2.3.2
Chia y+1y+1 cho 11.
y+1=xy+1=x
y+1=xy+1=x
y+1=xy+1=x
Bước 3.3
Trừ 11 khỏi cả hai vế của phương trình.
y=x-1y=x1
y=x-1y=x1
Bước 4
Replace yy with f-1(x)f1(x) to show the final answer.
f-1(x)=x-1f1(x)=x1
Bước 5
Kiểm tra xem f-1(x)=x-1f1(x)=x1 có là hàm ngược của f(x)=x2-1x-1f(x)=x21x1 không.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem f-1(f(x))=xf1(f(x))=xf(f-1(x))=xf(f1(x))=x không.
Bước 5.2
Tính f-1(f(x))f1(f(x)).
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1
Lập hàm hợp.
f-1(f(x))f1(f(x))
Bước 5.2.2
Tính f-1(x2-1x-1)f1(x21x1) bằng cách thay giá trị của ff vào f-1f1.
f-1(x2-1x-1)=(x2-1x-1)-1f1(x21x1)=(x21x1)1
Bước 5.2.3
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.3.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.3.1.1
Viết lại 11 ở dạng 1212.
f-1(x2-1x-1)=x2-12x-1-1f1(x21x1)=x212x11
Bước 5.2.3.1.2
Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, a2-b2=(a+b)(a-b)a2b2=(a+b)(ab) trong đó a=xa=xb=1b=1.
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f1(x21x1)=(x+1)(x1)x11
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f1(x21x1)=(x+1)(x1)x11
Bước 5.2.3.2
Triệt tiêu thừa số chung x-1x1.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.3.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f1(x21x1)=(x+1)(x1)x11
Bước 5.2.3.2.2
Chia x+1x+1 cho 11.
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f1(x21x1)=x+11
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f1(x21x1)=x+11
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f1(x21x1)=x+11
Bước 5.2.4
Kết hợp các số hạng đối nhau trong x+1-1x+11.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.4.1
Trừ 11 khỏi 11.
f-1(x2-1x-1)=x+0f1(x21x1)=x+0
Bước 5.2.4.2
Cộng xx00.
f-1(x2-1x-1)=xf1(x21x1)=x
f-1(x2-1x-1)=xf1(x21x1)=x
f-1(x2-1x-1)=xf1(x21x1)=x
Bước 5.3
Tính f(f-1(x))f(f1(x)).
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.1
Lập hàm hợp.
f(f-1(x))f(f1(x))
Bước 5.3.2
Tính f(x-1)f(x1) bằng cách thay giá trị của f-1f1 vào ff.
f(x-1)=(x-1)2-1(x-1)-1f(x1)=(x1)21(x1)1
Bước 5.3.3
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.3.1
Viết lại 11 ở dạng 1212.
f(x-1)=(x-1)2-12x-1-1f(x1)=(x1)212x11
Bước 5.3.3.2
Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, a2-b2=(a+b)(a-b)a2b2=(a+b)(ab) trong đó a=x-1a=x1b=1b=1.
f(x-1)=(x-1+1)(x-1-1)x-1-1f(x1)=(x1+1)(x11)x11
Bước 5.3.3.3
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.3.3.1
Cộng -1111.
f(x-1)=(x+0)(x-1-1)x-1-1f(x1)=(x+0)(x11)x11
Bước 5.3.3.3.2
Cộng xx00.
f(x-1)=x(x-1-1)x-1-1f(x1)=x(x11)x11
Bước 5.3.3.3.3
Trừ 11 khỏi -11.
f(x-1)=x(x-2)x-1-1f(x1)=x(x2)x11
f(x-1)=x(x-2)x-1-1
f(x-1)=x(x-2)x-1-1
Bước 5.3.4
Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.4.1
Trừ 1 khỏi -1.
f(x-1)=x(x-2)x-2
Bước 5.3.4.2
Triệt tiêu thừa số chung x-2.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.4.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
f(x-1)=x(x-2)x-2
Bước 5.3.4.2.2
Chia x cho 1.
f(x-1)=x
f(x-1)=x
f(x-1)=x
f(x-1)=x
Bước 5.4
f-1(f(x))=xf(f-1(x))=x, nên f-1(x)=x-1 là hàm ngược của f(x)=x2-1x-1.
f-1(x)=x-1
f-1(x)=x-1
 [x2  12  π  xdx ]