Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Bước 3.2

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Bước 3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Bước 3.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn biểu thức $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Bước 3.2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Bước 3.2.3.2

Chia $y + 1$ cho $1$ .

$y + 1 = x$

Bước 3.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = x - 1$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x - 1$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Bước 5.2.3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Bước 5.2.3.2.2

Chia $x + 1$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Bước 5.3.3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x - 1$ và $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Bước 5.3.3.3.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Bước 5.3.3.3.3

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Bước 5.3.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Bước 5.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Bước 5.3.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (x - 1) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x - 1$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$