Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\log (4 y) = 2 x$

Bước 3.4

Viết lại $\log (4 y) = 2 x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 y = 10^{2 x}$ .

$4 y = 10^{2 x}$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $4 y = 10^{2 x}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y = 10^{2 x}$ cho $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Bước 3.5.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

Bước 5.2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn $1 \cdot \log (4 x)$ bằng cách di chuyển $1$ trong logarit.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

Bước 5.2.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.2.3.4

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

Bước 5.3.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2 x$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

Bước 5.3.5

Logarit cơ số $10$ của $10$ là $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Bước 5.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Bước 5.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Bước 5.3.7.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$