Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Bước 1

Viết $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ ở dạng một phương trình.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Bước 3.2

Thay $u$ bằng $\sqrt{e^{y} + 1}$ .

$\sin (u) = x$

Bước 3.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $u$ từ trong hàm sin.

$u = \arcsin (x)$

Bước 3.4

Thay $\sqrt{e^{y} + 1}$ cho $u$ và giải $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{e^{y} + 1}$ ở dạng ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Rút gọn ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Rút gọn.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Bước 3.4.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Bước 3.4.3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Bước 3.4.3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.3.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Bước 3.4.3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Bước 3.4.3.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ có là hàm ngược của $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Bước 5.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Bước 5.3.4

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Bước 5.3.5

Cộng ${\arcsin (x)}^{2}$ và $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Bước 5.3.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Bước 5.3.7

Hàm sin và arcsin là nghịch đảo.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ là hàm ngược của $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$