Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Bước 3.3.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Bước 3.3.1.2

Nhân $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ với $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Bước 3.3.1.3.2

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Bước 3.3.1.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Bước 3.3.1.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Bước 3.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Bước 3.3.1.4.2.2

Chia $8 y$ cho $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $8 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Bước 3.4.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.4.3

Thay các giá trị $a = x$ , $b = - 8$ , và $c = - 64 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Bước 3.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.4

Nhân $- 4$ với $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.5

Đưa $64$ ra ngoài $64 + 256 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1.5.1

Đưa $64$ ra ngoài $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.5.2

Đưa $64$ ra ngoài $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.5.3

Đưa $64$ ra ngoài $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.6

Viết lại $64 (1 + 4 x^{2})$ ở dạng $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1.6.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.4.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.4

Nhân $- 4$ với $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.5

Đưa $64$ ra ngoài $64 + 256 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.5.1

Đưa $64$ ra ngoài $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.5.2

Đưa $64$ ra ngoài $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.5.3

Đưa $64$ ra ngoài $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.6

Viết lại $64 (1 + 4 x^{2})$ ở dạng $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.6.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.5.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.5.2

Rút gọn $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.5.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.5.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.4

Nhân $- 4$ với $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.5

Đưa $64$ ra ngoài $64 + 256 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.5.1

Đưa $64$ ra ngoài $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.5.2

Đưa $64$ ra ngoài $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.5.3

Đưa $64$ ra ngoài $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.6

Viết lại $64 (1 + 4 x^{2})$ ở dạng $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.6.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.6.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Bước 3.4.6.2

Rút gọn $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.6.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Bước 3.4.6.4.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Bước 3.4.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ và $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Bước 5.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$4 x^{2} \geq - 1$

Bước 5.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} \geq - 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} \geq - 1$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Bước 5.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Bước 5.3.2.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Bước 5.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Bước 5.3.2.3

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Bước 5.3.3

Đặt mẫu số trong $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 5.3.4

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Không có hàm ngược

Bước 6