Toán hữu hạn Ví dụ

${(2 p - q)}^{6}$

Bước 1

Tam giác Pascal có thể được hiển thị như thế này:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Tam giác có thể được sử dụng để tính các hệ số của việc khai triển ${(a + b)}^{n}$ bằng cách lấy số mũ $n$ và cộng $1$ . Các hệ số sẽ tương ứng với đường thẳng $n + 1$ của tam giác. Đối với ${(2 p - q)}^{6}$ , $n = 6$ , vì vậy các hệ số của việc khai triển sẽ tương ứng với đường thẳng $7$ .

Bước 2

Việc khai triển tuân theo quy tắc ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Các giá trị của các hệ số, từ tam giác, là $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a$ $2 p$ và $b$ $- q$ vào biểu thức.

$1 {(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân ${(2 p)}^{6}$ với $1$ .

${(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 p$ .

$2^{6} p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $6$ .

$64 p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $- q$ .

$64 p^{6} ({(- 1)}^{0} q^{0}) + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$64 \cdot 1 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.7

Nhân $64$ với $1$ .

$64 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$64 p^{6} \cdot 1 + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.9

Nhân $64$ với $1$ .

$64 p^{6} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 p$ .

$64 p^{6} + 6 (2^{5} p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$64 p^{6} + 6 (32 p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.12

Nhân $32$ với $6$ .

$64 p^{6} + 192 p^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.13

Rút gọn.

$64 p^{6} + 192 p^{5} (- q) + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.14

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$64 p^{6} + 192 \cdot - 1 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.15

Nhân $192$ với $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.16

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (2^{4} p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.17

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (16 p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.18

Nhân $16$ với $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.19

Áp dụng quy tắc tích số cho $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} ({(- 1)}^{2} q^{2}) + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.20

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot {(- 1)}^{2} p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.21

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot 1 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.22

Nhân $240$ với $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.23

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (2^{3} p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.24

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (8 p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.25

Nhân $8$ với $20$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.26

Áp dụng quy tắc tích số cho $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} ({(- 1)}^{3} q^{3}) + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.27

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot {(- 1)}^{3} p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.28

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot - 1 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.29

Nhân $160$ với $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.30

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (2^{2} p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.31

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (4 p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.32

Nhân $4$ với $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.33

Áp dụng quy tắc tích số cho $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} ({(- 1)}^{4} q^{4}) + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.34

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot {(- 1)}^{4} p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.35

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot 1 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.36

Nhân $60$ với $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.37

Rút gọn.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 (2 p) {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.38

Nhân $2$ với $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.39

Áp dụng quy tắc tích số cho $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p ({(- 1)}^{5} q^{5}) + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.40

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot {(- 1)}^{5} p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.41

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot - 1 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.42

Nhân $12$ với $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.43

Nhân ${(2 p)}^{0}$ với $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.44

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 2^{0} p^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.45

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 p^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.46

Nhân $p^{0}$ với $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + p^{0} {(- q)}^{6}$

Bước 4.47

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(- q)}^{6}$

Bước 4.48

Nhân ${(- q)}^{6}$ với $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- q)}^{6}$

Bước 4.49

Áp dụng quy tắc tích số cho $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- 1)}^{6} q^{6}$

Bước 4.50

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 q^{6}$

Bước 4.51

Nhân $q^{6}$ với $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + q^{6}$