Toán hữu hạn Ví dụ

${(1 + 2 i)}^{3}$

Bước 1

Tam giác Pascal có thể được hiển thị như thế này:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Tam giác có thể được sử dụng để tính các hệ số của việc khai triển ${(a + b)}^{n}$ bằng cách lấy số mũ $n$ và cộng $1$ . Các hệ số sẽ tương ứng với đường thẳng $n + 1$ của tam giác. Đối với ${(1 + 2 i)}^{3}$ , $n = 3$ , vì vậy các hệ số của việc khai triển sẽ tương ứng với đường thẳng $4$ .

Bước 2

Việc khai triển tuân theo quy tắc ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Các giá trị của các hệ số, từ tam giác, là $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a$ $1$ và $b$ $2 i$ vào biểu thức.

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $1$ với ${(1)}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Nhân $1$ với ${(1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.2

Rút gọn $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.5

Nhân $3$ với $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.6

Rút gọn.

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.7

Nhân $2$ với $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.8

Tính số mũ.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.9

Nhân $3$ với $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 i$ .

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.12

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.13

Nhân $3 (4 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.13.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.13.2

Nhân $3$ với $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.14

Nhân $1$ với ${(1)}^{0}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.14.1

Nhân $1$ với ${(1)}^{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.14.1.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.14.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.14.2

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.15

Rút gọn $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Bước 4.1.16

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 i$ .

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Bước 4.1.17

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Bước 4.1.18

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Bước 4.1.19

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Bước 4.1.20

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Bước 4.1.21

Nhân $- 1$ với $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $12$ khỏi $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Bước 4.2.2

Trừ $8 i$ khỏi $6 i$ .

$- 11 - 2 i$