Toán hữu hạn Ví dụ

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$0$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 0$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Bước 4.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Bước 4.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

Bước 4.1.4

Nhân $- 2$ với $0$ .

$0 + 0 + 48 (0)$

Bước 4.1.5

Nhân $48$ với $0$ .

$0 + 0 + 0$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 0$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 5

Vì $0$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 0$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 2)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 2)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(48)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(48)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

Bước 6.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

Bước 7

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2} - 2 x + 48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

Bước 7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

Bước 7.3

Đưa $2$ ra ngoài $48$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

Bước 7.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

Bước 7.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

Bước 8

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

Bước 8.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

Bước 8.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $48 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

Bước 8.4

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

Bước 8.5

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ .

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

Bước 9

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Bước 10

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 11

Đặt $2 x^{2} - x + 24$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt $2 x^{2} - x + 24$ bằng với $0$ .

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Bước 11.2

Giải $2 x^{2} - x + 24 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 11.2.2

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = - 1$ , và $c = 24$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.1.2.2

Nhân $- 8$ với $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.1.3

Trừ $192$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.1.4

Viết lại $- 191$ ở dạng $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (191)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Bước 11.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.4.1.2.2

Nhân $- 8$ với $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.4.1.3

Trừ $192$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.4.1.4

Viết lại $- 191$ ở dạng $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (191)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Bước 11.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

Bước 11.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.5.1.2.2

Nhân $- 8$ với $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.5.1.3

Trừ $192$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.5.1.4

Viết lại $- 191$ ở dạng $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (191)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Bước 11.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Bước 11.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Bước 12

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Bước 13