Toán hữu hạn Ví dụ

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = \frac{1}{2}$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Bước 4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Bước 4.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Bước 4.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Bước 4.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Bước 4.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Bước 4.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Bước 4.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Bước 4.1.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Bước 4.1.8

Kết hợp $15$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Bước 4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Bước 4.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $1$ và $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Bước 4.2.2.2

Chia $16$ cho $4$ .

$- 4 + 4$

Bước 4.2.2.3

Cộng $- 4$ và $4$ .

$0$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - \frac{1}{2}$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(\frac{1}{2})$ và đặt kết quả của $(2)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(\frac{1}{2})$ và đặt kết quả của $(1)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(16)$ với số chia $(\frac{1}{2})$ và đặt kết quả của $(8)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(8)$ với số chia $(\frac{1}{2})$ và đặt kết quả của $(4)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Bước 6.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Bước 6.12

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Bước 7

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Bước 7.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Bước 7.3

Đưa $2$ ra ngoài $16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Bước 7.4

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Bước 7.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Bước 7.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Bước 7.7

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Bước 8

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Bước 8.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Bước 9

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Bước 9.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Bước 10

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 11

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ và có tổng là $b = 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Đưa $15$ ra ngoài $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Bước 11.1.2

Viết lại $15$ ở dạng $- 1$ cộng $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Bước 11.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Bước 11.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Bước 11.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Bước 11.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Bước 12

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Bước 13

Đặt $4 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt $4 u - 1$ bằng với $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Bước 13.2

Giải $4 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 u = 1$

Bước 13.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 u = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 u = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 13.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 13.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Bước 14

Đặt $u + 4$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt $u + 4$ bằng với $0$ .

$u + 4 = 0$

Bước 14.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 4$

Bước 15

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Bước 16

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Bước 17

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Bước 18

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Bước 18.2

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Bước 18.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Bước 18.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 18.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Bước 18.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{1}{2}$

Bước 18.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{1}{2}$

Bước 18.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Bước 19

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Bước 20

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = - 4$

Bước 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Bước 20.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Bước 20.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Bước 20.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Bước 20.3.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Bước 20.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm i \cdot 2$

Bước 20.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \pm 2 i$

Bước 20.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2 i$

Bước 20.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2 i$

Bước 20.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2 i, - 2 i$

Bước 21

Đáp án cho $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ là $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Bước 22