Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Bước 1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$4 y, 3, 1, 1$

Bước 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Bước 2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.4

$4$ có các thừa số là $2$ và $2$ .

$2 \cdot 2$

Bước 2.5

Vì $3$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $3$ .

$3$ là một số nguyên tố

Bước 2.6

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.7

BCNN của $4, 3, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Bước 2.8

Nhân $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \cdot 3$

Bước 2.8.2

Nhân $4$ với $3$ .

$12$

Bước 2.9

Thừa số cho $y^{1}$ là chính nó $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.10

BCNN của $y^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y$

Bước 2.11

BCNN cho $4 y, 3, 1, 1$ là phần số $12$ nhân với phần biến.

$12 y$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ với $12 y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ với $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.8

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.8.1

Di chuyển $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.8.2

Nhân $y$ với $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Bước 3.2.1.9

Nhân $- 1$ với $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $12$ với $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Bước 4

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển tất cả các số hạng chứa $y$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Trừ $24 y$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Bước 4.1.2

Trừ $24 y$ khỏi $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Bước 4.2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Bước 4.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.4

Thay các giá trị $a = - 12$ , $b = - 28$ , và $c = 3$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Nâng $- 28$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5.1.2.2

Nhân $48$ với $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5.1.3

Cộng $784$ và $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5.1.4

Viết lại $928$ ở dạng $4^{2} \cdot 58$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.5.2

Nhân $2$ với $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Bước 4.5.3

Rút gọn $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Bước 4.5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Nâng $- 28$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.6.1.2.2

Nhân $48$ với $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.6.1.3

Cộng $784$ và $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.6.1.4

Viết lại $928$ ở dạng $4^{2} \cdot 58$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.6.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.6.2

Nhân $2$ với $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Bước 4.6.3

Rút gọn $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Bước 4.6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Bước 4.6.5

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Nâng $- 28$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.7.1.2.2

Nhân $48$ với $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.7.1.3

Cộng $784$ và $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.7.1.4

Viết lại $928$ ở dạng $4^{2} \cdot 58$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.7.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Bước 4.7.2

Nhân $2$ với $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Bước 4.7.3

Rút gọn $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Bước 4.7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Bước 4.7.5

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Bước 4.8

Hợp nhất các đáp án.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Bước 5

Tìm tập xác định của $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{4 y}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$4 y = 0$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $4 y = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$y = 0$

Bước 5.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $y$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Bước 7

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$y = - 5$

Bước 7.1.2

Thay thế $y$ bằng $- 5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Bước 7.1.3

Vế trái $- 0.38\overline{3}$ không nhỏ hơn vế phải $- 3$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 7.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$y = - 1$

Bước 7.2.2

Thay thế $y$ bằng $- 1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Bước 7.2.3

Vế trái $- 0.58\overline{3}$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 7.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$y = 0.05$

Bước 7.3.2

Thay thế $y$ bằng $0.05$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Bước 7.3.3

Vế trái $4.\overline{6}$ không nhỏ hơn vế phải $2.05$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 7.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$y = 3$

Bước 7.4.2

Thay thế $y$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Bước 7.4.3

Vế trái $- 0.25$ nhỏ hơn vế phải $5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 7.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Sai

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Đúng

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Sai

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Đúng

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Sai

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Đúng

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Sai

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Đúng

Bước 8

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ hoặc $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Bước 9

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Bước 10