Toán hữu hạn Ví dụ

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Bước 1

Viết lại $e^{2 x}$ dưới dạng số mũ.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Bước 2

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Bước 3

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.2

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = - 5$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $- 8$ với $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.3

Trừ $32$ khỏi $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.4

Viết lại $- 7$ ở dạng $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (7)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Bước 3.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Bước 4

Thay $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Bước 5

Giải $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Bước 5.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.4

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ ở dạng $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Bước 5.4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 5.4.3

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 5.4.4

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Bước 5.4.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 5.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 5.5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Bước 6

Thay $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Bước 7

Giải $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Bước 7.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.4

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ ở dạng $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Bước 7.4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 7.4.3

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 7.4.4

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Bước 7.4.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 7.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 7.5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Bước 8

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$