Toán hữu hạn Ví dụ

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Bước 1

Viết lại

e^{2 x}

$e^{2 x}$ dưới dạng số mũ.

2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Bước 2

Thay

u

$u$ bằng

e^{x}

$e^{x}$ .

2 u^{2} - 5 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Bước 3

Giải tìm

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.2

Thay các giá trị

a = 2

$a = 2$ ,

b = - 5

$b = - 5$ , và

c = 4

$c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm

u

$u$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nâng

- 5

$- 5$ lên lũy thừa

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.2

Nhân

- 4 \cdot 2 \cdot 4

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Nhân

- 4

$- 4$ với

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân

- 8

$- 8$ với

4

$4$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.3

Trừ

32

$32$ khỏi

25

$25$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.4

Viết lại

- 7

$- 7$ ở dạng

- 1 (7)

$- 1 (7)$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.5

Viết lại

\sqrt{- 1 (7)}

$\sqrt{- 1 (7)}$ ở dạng

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.6

Viết lại

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ ở dạng

i

$i$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2

Nhân

2

$2$ với

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Bước 3.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Bước 4

Thay

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ cho

u

$u$ trong

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Bước 5

Giải

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Bước 5.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Khai triển

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển

x

$x$ ra bên ngoài lôgarit.

x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.3.2

Logarit tự nhiên của

e

$e$ là

1

$1$ .

x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.3.3

Nhân

x

$x$ với

1

$1$ .

x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Bước 5.4

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại

\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ ở dạng

\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Bước 5.4.2

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ ở dạng

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 5.4.3

Viết lại

\ln (4)

$\ln (4)$ ở dạng

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 5.4.4

Khai triển

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển

2

$2$ ra bên ngoài lôgarit.

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Bước 5.4.5

Nhân

2

$2$ với

- 1

$- 1$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Rút gọn

- 2 \ln (2)

$- 2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển

2

$2$ trong logarit.

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 5.5.1.2

Nâng

2

$2$ lên lũy thừa

2

$2$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 5.5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Bước 6

Thay

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ cho

u

$u$ trong

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Bước 7

Giải

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình ở dạng

e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Bước 7.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Khai triển

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển

x

$x$ ra bên ngoài lôgarit.

x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.3.2

Logarit tự nhiên của

e

$e$ là

1

$1$ .

x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.3.3

Nhân

x

$x$ với

1

$1$ .

x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Bước 7.4

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại

\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ ở dạng

\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Bước 7.4.2

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ ở dạng

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 7.4.3

Viết lại

\ln (4)

$\ln (4)$ ở dạng

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 7.4.4

Khai triển

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển

2

$2$ ra bên ngoài lôgarit.

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Bước 7.4.5

Nhân

2

$2$ với

- 1

$- 1$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Rút gọn

- 2 \ln (2)

$- 2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển

2

$2$ trong logarit.

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Bước 7.5.1.2

Nâng

2

$2$ lên lũy thừa

2

$2$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Bước 7.5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Bước 8

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$