Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

Viết $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ ở dạng một phương trình.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại phương trình ở dạng $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ .

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Giải tìm $\sqrt{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Khai triển $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Nhân $\sqrt{y}$ với $\sqrt{y}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Nhân $\sqrt{y}$ với $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Nhân $9$ với $7$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Nhân $3$ với $9$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Nhân $7$ với $- 5$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

Nhân $- 5$ với $3$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

Trừ $35 \sqrt{y}$ khỏi $27 \sqrt{y}$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Thay các giá trị $a = 63$ , $b = - 8$ , và $c = - 15 - x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $\sqrt{y}$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 4$ với $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 252$ với $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 1$ với $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Cộng $64$ và $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $3844 + 252 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Viết lại $4 (961 + 63 x)$ ở dạng $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Viết lại $961$ ở dạng $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Nâng $31$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Nhân $2$ với $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 4$ với $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 252$ với $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 1$ với $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Cộng $64$ và $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $3844 + 252 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Viết lại $4 (961 + 63 x)$ ở dạng $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Viết lại $961$ ở dạng $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Nâng $31$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Nhân $2$ với $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 4$ với $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 252$ với $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Nhân $- 1$ với $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Cộng $64$ và $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $3844 + 252 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Đưa $4$ ra ngoài $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Viết lại $4 (961 + 63 x)$ ở dạng $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Viết lại $961$ ở dạng $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Nâng $31$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Nhân $2$ với $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Rút gọn.

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ có là hàm ngược của $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ và $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ rồi so sánh.

Tìm miền giá trị của $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

Tìm tập xác định của $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{961 + 63 x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$961 + 63 x \geq 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $961$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$63 x \geq - 961$

Chia mỗi số hạng trong $63 x \geq - 961$ cho $63$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $63 x \geq - 961$ cho $63$ .

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $63$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 961}{63}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x \geq - \frac{961}{63}$

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Không có hàm ngược

Step 6