Toán hữu hạn Ví dụ

$8 y^{3} - 1 = 0$

Bước 1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$8 y^{3} = 1$

Bước 2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Bước 3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $8 y^{3}$ ở dạng ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Bước 3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Bước 3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 2 y$ và $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 3.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 3.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Bước 3.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Bước 5

Đặt $2 y - 1$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $2 y - 1$ bằng với $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Bước 5.2

Giải $2 y - 1 = 0$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y = 1$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Bước 6

Đặt $4 y^{2} + 2 y + 1$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $4 y^{2} + 2 y + 1$ bằng với $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.2.2

Thay các giá trị $a = 4$ , $b = 2$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Nhân $- 16$ với $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ đúng.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$