Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Bước 1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $e^{4 t}$ ở dạng ${(e^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Bước 1.1.2

Viết lại $e^{2 t}$ ở dạng ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.1.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

Bước 1.1.4

Viết lại đa thức này.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.1.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = e^{2 t}$ và $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.2

Viết lại $e^{2 t}$ ở dạng ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.3

Giả sử $u = e^{t}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{t}$ .

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.4

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2} + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.4.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.4.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.4.4

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $e^{t} (e^{t} + 1)$ .

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.7

Nhân các số mũ trong ${(e^{t})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 1.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Bước 2.1.2

Chia ${(e^{t} + 1)}^{2}$ cho $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

Bước 2.2

Viết lại ${(e^{t} + 1)}^{2}$ ở dạng $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

Bước 3

Khai triển $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Bước 4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $e^{t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.1.2

Cộng $t$ và $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.2

Nhân $e^{t}$ với $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.3

Nhân $e^{t}$ với $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

Bước 4.2

Cộng $e^{t}$ và $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$