Toán hữu hạn Ví dụ

x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Bước 1

Vì căn thức nằm ở vế phải của phương trình, chuyển đổi các vế để nó ở vế trái của phương trình.

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Bước 2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Bước 3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{10 - x^{2}}$ ở dạng

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân các số mũ trong

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn

${(x + 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại

${(x + 2)}^{2}$ ở dạng

$(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Bước 3.3.1.2

Khai triển

$(x + 2) (x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Bước 3.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Bước 3.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1.1

Nhân

$x$ với

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Bước 3.3.1.3.1.2

Di chuyển

$2$ sang phía bên trái của

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Bước 3.3.1.3.1.3

Nhân

$2$ với

$2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Bước 3.3.1.3.2

Cộng

$2 x$ và

$2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Bước 4

Giải tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại để

$x$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Bước 4.2

Chuyển tất cả các số hạng chứa

$x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng

$x^{2}$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Bước 4.2.2

Cộng

$x^{2}$ và

$x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Bước 4.3

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Bước 4.4

Trừ

$10$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Bước 4.5

Trừ

$10$ khỏi

$4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Bước 4.6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$2 x^{2} + 4 x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Bước 4.6.1.2

Đưa

$2$ ra ngoài

$4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Bước 4.6.1.3

Đưa

$2$ ra ngoài

$- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Bước 4.6.1.4

Đưa

$2$ ra ngoài

$2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Bước 4.6.1.5

Đưa

$2$ ra ngoài

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Bước 4.6.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Phân tích

$x^{2} + 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1.1

Xét dạng

$x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là

$c$ và tổng của chúng là

$b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là

$- 3$ và tổng của chúng là

$2$ .

$- 1, 3$

Bước 4.6.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Bước 4.6.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Bước 4.7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng

$0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 4.8

Đặt

$x - 1$ bằng

$0$ và giải tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đặt

$x - 1$ bằng với

$0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 4.8.2

Cộng

$1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 4.9

Đặt

$x + 3$ bằng

$0$ và giải tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Đặt

$x + 3$ bằng với

$0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 4.9.2

Trừ

$3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 4.10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = 1, - 3$

Bước 5

Tìm tập xác định của

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt số trong dấu căn trong

$\sqrt{10 - x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng

$0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$10 - x^{2} \geq 0$

Bước 5.2

Giải tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ

$10$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 10$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong

$- x^{2} \geq - 10$ cho

$- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$- x^{2} \geq - 10$ cho

$- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia

$x^{2}$ cho

$1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Bước 5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Chia

$- 10$ cho

$- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Bước 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Bước 5.2.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Bước 5.2.5

Viết

$| x | \leq \sqrt{10}$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 5.2.5.2

Trong phần nơi mà

$x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq \sqrt{10}$

Bước 5.2.5.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 5.2.5.4

Trong phần nơi mà

$x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với

$- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Bước 5.2.5.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Bước 5.2.6

Tìm phần giao của

$x \leq \sqrt{10}$ và

$x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Bước 5.2.7

Giải

$- x \leq \sqrt{10}$ khi

$x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Chia mỗi số hạng trong

$- x \leq \sqrt{10}$ cho

$- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1.1

Chia mỗi số hạng trong

$- x \leq \sqrt{10}$ cho

$- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Bước 5.2.7.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Bước 5.2.7.1.2.2

Chia

$x$ cho

$1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Bước 5.2.7.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Bước 5.2.7.1.3.2

Viết lại

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ ở dạng

$- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Bước 5.2.7.2

Tìm phần giao của

$x \geq - \sqrt{10}$ và

$x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Bước 5.2.8

Tìm hợp của các đáp án.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Bước 5.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của

$x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Bước 6

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Bước 7

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$x < - \sqrt{10}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$x < - \sqrt{10}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 7.1.2

Thay thế

$x$ bằng

$- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Bước 7.1.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

False

Bước 7.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$- \sqrt{10} < x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$- \sqrt{10} < x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3.08$

Bước 7.2.2

Thay thế

$x$ bằng

$- 3.08$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Bước 7.2.3

Vế trái

$- 1.08$ không lớn hơn vế phải

$0.71665891$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 7.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$- 3 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$- 3 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 7.3.2

Thay thế

$x$ bằng

$0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Bước 7.3.3

Vế trái

$2$ không lớn hơn vế phải

$3.16227766$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 7.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$1 < x < \sqrt{10}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$1 < x < \sqrt{10}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 7.4.2

Thay thế

$x$ bằng

$2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Bước 7.4.3

Vế trái

$4$ lớn hơn vế phải

$2.44948974$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 7.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$x > \sqrt{10}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$x > \sqrt{10}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 7.5.2

Thay thế

$x$ bằng

$6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Bước 7.5.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

False

Bước 7.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \sqrt{10}$ Sai

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Sai

$- 3 < x < 1$ Sai

$1 < x < \sqrt{10}$ Đúng

$x > \sqrt{10}$ Sai

$x < - \sqrt{10}$ Sai

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Sai

$- 3 < x < 1$ Sai

$1 < x < \sqrt{10}$ Đúng

$x > \sqrt{10}$ Sai

Bước 8

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$1 < x < \sqrt{10}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$1 < x < \sqrt{10}$

Ký hiệu khoảng:

$(1, \sqrt{10})$

Bước 10