Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 2

Cộng $- 7$ và $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Bước 3

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x^{2} = 4$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{2} = 4$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{2} = 4$ cho $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Bước 4.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia $4$ cho $2$ .

$x^{2} = 2$

Bước 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Bước 6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{2}$

Bước 6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{2}$

Bước 6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bước 7

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 8

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 9

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 10

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Bước 11

Hợp nhất các đáp án.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Bước 12

Tìm tập xác định của $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Bước 12.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 12.2.2

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 12.2.2.2

Giải ${(x - 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 12.2.2.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 12.2.3

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 12.2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 12.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 2, - 1$

Bước 12.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 13

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Bước 14

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - \sqrt{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - \sqrt{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 14.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Bước 14.1.3

Vế trái $- 0.\overline{259}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 14.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \sqrt{2} < x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \sqrt{2} < x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 1.21$

Bước 14.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 1.21$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Bước 14.2.3

Vế trái $0.49531832$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < \sqrt{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < \sqrt{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 14.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Bước 14.3.3

Vế trái $- 1$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 14.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\sqrt{2} < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\sqrt{2} < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.71$

Bước 14.4.2

Thay thế $x$ bằng $1.71$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Bước 14.4.3

Vế trái $8.10930582$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 14.5.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Bước 14.5.3

Vế trái $1.4$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \sqrt{2}$ Đúng

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Sai

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Đúng

$\sqrt{2} < x < 2$ Sai

$x > 2$ Sai

$x < - \sqrt{2}$ Đúng

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Sai

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Đúng

$\sqrt{2} < x < 2$ Sai

$x > 2$ Sai

Bước 15

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - \sqrt{2}$ hoặc $- 1 < x < \sqrt{2}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Bước 17