Toán hữu hạn Ví dụ

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Bước 2

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = - 5$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 5$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.3

Cộng $1$ và $20$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Bước 6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Bước 7

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Bước 8

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = 2.79128784$

Bước 9

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

Bước 9.2

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{2.79128784}$

Bước 9.2.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{2.79128784}$

Bước 9.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Bước 10

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Bước 11

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = - 1.79128784$

Bước 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

Bước 11.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại $- 1.79128784$ ở dạng $- 1 (1.79128784)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

Bước 11.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

Bước 11.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

Bước 11.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i \sqrt{1.79128784}$

Bước 11.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

Bước 11.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Bước 12

Đáp án cho $x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ là $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Bước 13

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 6$

Bước 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Bước 15

Rút gọn $\pm \sqrt{- 6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại $- 6$ ở dạng $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Bước 15.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (6)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Bước 15.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Bước 16

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i \sqrt{6}$

Bước 16.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i \sqrt{6}$

Bước 16.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Bước 17

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Bước 18

Hợp nhất các đáp án.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Bước 19

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

Bước 20

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - \sqrt{2.79128784}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - \sqrt{2.79128784}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 20.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

Bước 20.1.3

Vế trái $- 10.6\overline{81}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 20.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 20.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

Bước 20.2.3

Vế trái $0.8\overline{3}$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 20.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \sqrt{2.79128784}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \sqrt{2.79128784}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 20.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

Bước 20.3.3

Vế trái $- 10.6\overline{81}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 20.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Đúng

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Sai

$x > \sqrt{2.79128784}$ Đúng

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Đúng

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Sai

$x > \sqrt{2.79128784}$ Đúng

Bước 21

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ hoặc $x > \sqrt{2.79128784}$

Bước 22

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

Bước 23