Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

Bước 1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 2.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 2.4.3

Trừ $\sin (x)$ khỏi $\sin (x)$ .

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 2.4.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$\sin (x) + 1 = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = - 1$

Bước 5

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 7

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 8

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 8.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 9

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 9.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 9.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 9.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 10

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 10.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 10.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 10.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 10.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 10.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 10.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 11

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Tìm tập xác định của $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt mẫu số trong $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sin (x) + 1 = 0$

Bước 13.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = - 1$

Bước 13.2.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 13.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 13.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 13.2.5.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 13.2.6

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.2.7

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.7.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 13.2.7.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 13.2.7.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.7.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 13.2.7.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 13.2.7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.7.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 13.2.7.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 13.2.7.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 13.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13.2.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 14

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Bước 15

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 8$

Bước 15.1.2

Thay thế $x$ bằng $8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

Bước 15.1.3

Vế trái $0.49732533$ không lớn hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 15.2

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Sai

Bước 16

Vì không có số nào nằm trong khoảng, bất đẳng thức này không có đáp án.

Không có đáp án