Toán hữu hạn Ví dụ

$\begin{array}{c} x & y \\ 60 - 64 & 4 \\ 65 - 69 & 7 \\ 70 - 74 & 12 \\ 75 - 79 & 16 \\ 80 - 84 & 15 \\ 85 - 89 & 6 \end{array}$

Bước 1

Tìm trung điểm $M$ cho mỗi nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giới hạn dưới cho mỗi nhóm là giá trị nhỏ nhất trong nhóm đó. Mặt khác, giới hạn trên cho mỗi nhóm là giá trị lớn nhất trong nhóm đó.

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 \end{array}$

Bước 1.2

Trung điểm của nhóm là giới hạn dưới của nhóm cộng với giới hạn trên của nhóm chia cho $2$ .

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & \frac{60 + 64}{2} \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & \frac{65 + 69}{2} \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & \frac{70 + 74}{2} \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & \frac{75 + 79}{2} \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & \frac{80 + 84}{2} \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & \frac{85 + 89}{2} \end{array}$

Bước 1.3

Rút gọn tất cả cột trung điểm.

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & 87 \end{array}$

Bước 1.4

Cộng cột chứa các trung điểm vào bảng ban đầu.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

Bước 2

Tính bình phương của trung điểm của mỗi nhóm $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 62^{2} \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 67^{2} \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 72^{2} \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 77^{2} \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 82^{2} \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 87^{2} \end{array}$

Bước 3

Rút gọn cột $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 \end{array}$

Bước 4

Nhân mỗi trung điểm bình phương với tần số của nó $f$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 4 \cdot 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 7 \cdot 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 12 \cdot 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 16 \cdot 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 15 \cdot 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 6 \cdot 7569 \end{array}$

Bước 5

Rút gọn cột $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 15376 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 31423 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 62208 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 94864 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 100860 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 45414 \end{array}$

Bước 6

Tìm tổng của tất cả các tần số. Trong trường hợp này, tổng của tất cả các tần số là $n = 4, 7, 12, 16, 15, 6 = 60$ .

$\sum_{}^{} f = n = 60$

Bước 7

Tìm tổng của cột $f \cdot M^{2}$ . Trong trường hợp này, $15376 + 31423 + 62208 + 94864 + 100860 + 45414 = 350145$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 350145$

Bước 8

Tìm giá trị trung bình $μ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm trung điểm $M$ cho mỗi nhóm.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

Bước 8.2

Nhân tần số của mỗi nhóm với điểm giữa của nhóm.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 4 \cdot 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 7 \cdot 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 12 \cdot 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 16 \cdot 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 15 \cdot 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 6 \cdot 87 \end{array}$

Bước 8.3

Rút gọn cột $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 248 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 469 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 864 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 1232 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 1230 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 522 \end{array}$

Bước 8.4

Cộng các giá trị trong cột $f \cdot M$ .

$248 + 469 + 864 + 1232 + 1230 + 522 = 4565$

Bước 8.5

Cộng các giá trị trong cột tần số.

$n = 4 + 7 + 12 + 16 + 15 + 6 = 60$

Bước 8.6

Giá trị trung bình (mu) là tổng của $f \cdot M$ chia cho $n$ , cũng chính là tổng của tần số.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Bước 8.7

Giá trị trung bình là tổng của tích các trung điểm với các tần số rồi chia cho tổng tần số.

$μ = \frac{4565}{60}$

Bước 8.8

Rút gọn vế phải của $μ = \frac{4565}{60}$ .

$76.08\overline{3}$

Bước 9

Phương trình cho độ lệch chuẩn là $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Bước 10

Thay các giá trị đã tính vào $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$

Bước 11

Rút gọn vế phải của $S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$ để có được phương sai $S^{2} = 47.87429378$ .

$47.87429378$