Toán hữu hạn Ví dụ

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

Bước 1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = x^{2} + 4 x - 73$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.2

Nhân $x^{2} + 4 x - 73$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.3

Trừ $73$ khỏi $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.4

Phân tích $x^{2} + 4 x - 77$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 77$ và tổng của chúng là $4$ .

$- 7, 11$

Bước 3.1.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.5

Viết lại $- 4 (x - 7) (x + 11)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.5.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.5.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.5.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Bước 3.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2

Nhân $x^{2} + 4 x - 73$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.3

Trừ $73$ khỏi $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.4

Phân tích $x^{2} + 4 x - 77$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

$- 7, 11$

Bước 4.1.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.5

Viết lại $- 4 (x - 7) (x + 11)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.5.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.5.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.5.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Bước 4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.2

Nhân $x^{2} + 4 x - 73$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.3

Trừ $73$ khỏi $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.4

Phân tích $x^{2} + 4 x - 77$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

$- 7, 11$

Bước 5.1.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.5

Viết lại $- 4 (x - 7) (x + 11)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.5.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.5.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.5.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Bước 5.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Bước 5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Bước 6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Bước 7

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

Bước 8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Bước 8.2

Đặt $x - 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đặt $x - 7$ bằng với $0$ .

$x - 7 = 0$

Bước 8.2.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 7$

Bước 8.3

Đặt $x + 11$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Đặt $x + 11$ bằng với $0$ .

$x + 11 = 0$

Bước 8.3.2

Trừ $11$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 11$

Bước 8.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ đúng.

$x = 7, - 11$

Bước 8.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

Bước 8.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 11$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 11$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 14$

Bước 8.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 14$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

Bước 8.6.1.3

Vế trái $- 63$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 8.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 11 < x < 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 11 < x < 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 8.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

Bước 8.6.2.3

Vế trái $77$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 8.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 10$

Bước 8.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $10$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

Bước 8.6.3.3

Vế trái $- 63$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 8.6.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 11$ Sai

$- 11 < x < 7$ Đúng

$x > 7$ Sai

$x < - 11$ Sai

$- 11 < x < 7$ Đúng

$x > 7$ Sai

Bước 8.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 11 \leq x \leq 7$

Bước 9

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 11, 7]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

Bước 10

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- 7, 11]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

Bước 11

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

Khoảng biến thiên: $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

Bước 12