Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Bước 1

Trừ $\frac{x^{2}}{48}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Bước 2

Nhân cả hai vế của phương trình với $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Bước 3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Bước 3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Bước 3.2.1.2

Nhân $64$ với $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Bước 3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{2}}{48}$ vào tử số.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Bước 3.2.1.3.2

Đưa $16$ ra ngoài $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Bước 3.2.1.3.3

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Bước 3.2.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Bước 3.2.1.3.5

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Bước 3.2.1.4

Kết hợp $4$ và $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Bước 3.2.1.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Bước 3.2.1.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Bước 4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Bước 5

Rút gọn $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để viết $64$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Bước 5.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $64$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Bước 5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Bước 5.3.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Bước 5.3.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Bước 5.3.2

Nhân $16$ với $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Bước 5.4

Viết lại $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.6

Nhân $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.7.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 5.7.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 5.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 5.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.7.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 5.7.6.5

Tính số mũ.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Bước 5.8

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Bước 6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Bước 6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Bước 6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Bước 7

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Bước 8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 8.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 8.1.2.1.2

Chia $48 - x^{2}$ cho $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Bước 8.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Bước 8.2

Trừ $48$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 48$

Bước 8.3

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 48$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 48$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Bước 8.3.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Bước 8.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Chia $- 48$ cho $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Bước 8.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Bước 8.5

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Bước 8.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Rút gọn $\sqrt{48}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1.1

Viết lại $48$ ở dạng $4^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1.1.1

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Bước 8.5.2.1.1.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Bước 8.5.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Bước 8.5.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Bước 8.6

Viết $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 8.6.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Bước 8.6.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 8.6.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Bước 8.6.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Bước 8.7

Tìm phần giao của $x \leq 4 \sqrt{3}$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Bước 8.8

Giải $- x \leq 4 \sqrt{3}$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 4 \sqrt{3}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 4 \sqrt{3}$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Bước 8.8.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Bước 8.8.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Bước 8.8.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Bước 8.8.1.3.2

Viết lại $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ ở dạng $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Bước 8.8.1.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Bước 8.8.2

Tìm phần giao của $x \geq - 4 \sqrt{3}$ và $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Bước 8.9

Tìm hợp của các đáp án.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Bước 9

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Bước 10

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- 8, 8]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Bước 11

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Khoảng biến thiên: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Bước 12