Toán hữu hạn Ví dụ

$(9, 8)$ ,

$(9, 3)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân

$9$ với

$9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Bước 2.2.1.2

Nhân

$8$ với

$3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Bước 2.2.2

Cộng

$81$ và

$24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Bước 3

Tìm độ lớn của

$a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng

$9$ lên lũy thừa

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng

$8$ lên lũy thừa

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Bước 3.2.3

Cộng

$81$ và

$64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Bước 4

Tìm độ lớn của

$b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng

$9$ lên lũy thừa

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng

$3$ lên lũy thừa

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Bước 4.2.3

Cộng

$81$ và

$9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Bước 4.2.4

Viết lại

$90$ ở dạng

$3^{2} \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa

$9$ ra ngoài

$90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại

$9$ ở dạng

$3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của

$105$ và

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa

$3$ ra ngoài

$105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa

$3$ ra ngoài

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Bước 6.2.2

Nhân

$145$ với

$10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Bước 6.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại

$1450$ ở dạng

$5^{2} \cdot 58$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Đưa

$25$ ra ngoài

$1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Bước 6.3.1.2

Viết lại

$25$ ở dạng

$5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Bước 6.3.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung của

$35$ và

$5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa

$5$ ra ngoài

$35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Đưa

$5$ ra ngoài

$5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Bước 6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Bước 6.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Bước 6.5

Nhân

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ với

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Bước 6.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ với

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Bước 6.6.2

Nâng

$\sqrt{58}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Bước 6.6.3

Nâng

$\sqrt{58}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Bước 6.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Bước 6.6.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Bước 6.6.6

Viết lại

${\sqrt{58}}^{2}$ ở dạng

$58$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{58}$ ở dạng

$58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.6.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Bước 6.6.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Bước 6.7

Tính

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$