Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1

Một hàm số hữu tỉ là một hàm số bất kỳ có thể được viết dưới dạng tỉ lệ của hai hàm đa thức, trong đó mẫu số không phải là $0$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ là một hàm số hữu tỉ

Bước 2

Một hàm hữu tỉ là thực sự khi bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, nếu không thì đó là hàm không thực sự.

Bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số cho ta biết đây là một hàm thực sự

Bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số cho ta biết đây là một hàm không thực sự

Bậc của tử số bằng với bậc của mẫu số cho ta biết đây là một hàm không thực sự

Bước 3

Tìm bậc của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn và sắp xếp lại đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.4

Nhân $3$ với $3^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Di chuyển $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.4.2

Nhân $3^{2}$ với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.4.3

Cộng $2$ và $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.6

Nhân $- 1$ với $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.7

Nhân $3$ với $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.9

Nhân $9$ với $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

Bước 3.1.2.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Bước 3.2

Số mũ lớn nhất là bậc của đa thức.

$3$

Bước 4

Tìm bậc của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn và sắp xếp lại đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

Bước 4.1.2

Khai triển $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 4.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.3.1.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.3.1.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.3.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 4.1.3.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

Bước 4.1.3.2

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Bước 4.2

Số mũ lớn nhất là bậc của đa thức.

$4$

Bước 5

Bậc của tử số $3$ nhỏ hơn bậc của mẫu số $4$ .

$3 < 4$

Bước 6

Bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, có nghĩa là $f (x)$ là một hàm thực sự.

Thực sự