Toán hữu hạn Ví dụ

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 6 \\ 6 & 9 & 21 \\ 12 & 7 & 15 \end{array}]$

Bước 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Bước 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 21 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Bước 2.1.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 9 \cdot 15 - 7 \cdot 21$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.1

Nhân $9$ với $15$ .

$a_{11} = 135 - 7 \cdot 21$

Bước 2.1.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $21$ .

$a_{11} = 135 - 147$

Bước 2.1.2.2.2

Trừ $147$ khỏi $135$ .

$a_{11} = - 12$

Bước 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 21 \\ 12 & 15 \end{array} |$

Bước 2.2.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 6 \cdot 15 - 12 \cdot 21$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1.1

Nhân $6$ với $15$ .

$a_{12} = 90 - 12 \cdot 21$

Bước 2.2.2.2.1.2

Nhân $- 12$ với $21$ .

$a_{12} = 90 - 252$

Bước 2.2.2.2.2

Trừ $252$ khỏi $90$ .

$a_{12} = - 162$

Bước 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 9 \\ 12 & 7 \end{array} |$

Bước 2.3.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 6 \cdot 7 - 12 \cdot 9$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Nhân $6$ với $7$ .

$a_{13} = 42 - 12 \cdot 9$

Bước 2.3.2.2.1.2

Nhân $- 12$ với $9$ .

$a_{13} = 42 - 108$

Bước 2.3.2.2.2

Trừ $108$ khỏi $42$ .

$a_{13} = - 66$

Bước 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Bước 2.4.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 3 \cdot 15 - 7 \cdot 6$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Nhân $3$ với $15$ .

$a_{21} = 45 - 7 \cdot 6$

Bước 2.4.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $6$ .

$a_{21} = 45 - 42$

Bước 2.4.2.2.2

Trừ $42$ khỏi $45$ .

$a_{21} = 3$

Bước 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 12 & 15 \end{array} |$

Bước 2.5.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 15 - 12 \cdot 6$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1.1

Nhân $3$ với $15$ .

$a_{22} = 45 - 12 \cdot 6$

Bước 2.5.2.2.1.2

Nhân $- 12$ với $6$ .

$a_{22} = 45 - 72$

Bước 2.5.2.2.2

Trừ $72$ khỏi $45$ .

$a_{22} = - 27$

Bước 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 12 & 7 \end{array} |$

Bước 2.6.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 7 - 12 \cdot 3$

Bước 2.6.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.1

Nhân $3$ với $7$ .

$a_{23} = 21 - 12 \cdot 3$

Bước 2.6.2.2.1.2

Nhân $- 12$ với $3$ .

$a_{23} = 21 - 36$

Bước 2.6.2.2.2

Trừ $36$ khỏi $21$ .

$a_{23} = - 15$

Bước 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 9 & 21 \end{array} |$

Bước 2.7.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 3 \cdot 21 - 9 \cdot 6$

Bước 2.7.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1.1

Nhân $3$ với $21$ .

$a_{31} = 63 - 9 \cdot 6$

Bước 2.7.2.2.1.2

Nhân $- 9$ với $6$ .

$a_{31} = 63 - 54$

Bước 2.7.2.2.2

Trừ $54$ khỏi $63$ .

$a_{31} = 9$

Bước 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 21 \end{array} |$

Bước 2.8.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 21 - 6 \cdot 6$

Bước 2.8.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1.1

Nhân $3$ với $21$ .

$a_{32} = 63 - 6 \cdot 6$

Bước 2.8.2.2.1.2

Nhân $- 6$ với $6$ .

$a_{32} = 63 - 36$

Bước 2.8.2.2.2

Trừ $36$ khỏi $63$ .

$a_{32} = 27$

Bước 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Bước 2.9.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 9 - 6 \cdot 3$

Bước 2.9.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1.1

Nhân $3$ với $9$ .

$a_{33} = 27 - 6 \cdot 3$

Bước 2.9.2.2.1.2

Nhân $- 6$ với $3$ .

$a_{33} = 27 - 18$

Bước 2.9.2.2.2

Trừ $18$ khỏi $27$ .

$a_{33} = 9$

Bước 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 12 & 162 & - 66 \\ - 3 & - 27 & 15 \\ 9 & - 27 & 9 \end{array}]$

Bước 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} - 12 & - 3 & 9 \\ 162 & - 27 & - 27 \\ - 66 & 15 & 9 \end{array}]$